a20170<𝛼<𝜋

2 යැයි ගනිමු. limx→𝛼x3-𝛼3

tan x-tan 𝛼 බව පෙන්වන්න. Answer: www.ganithaya.com/combine/ 2016a>0 යැයි ගනිමු. limx→01-cos(ax)

4+x2-4-x2=16 වන පරිදි වූ 𝛼 හි අගය සොයන්න. 2015තාත්වික පරාමිතියක් ඇසුරෙන් xy තලයේ C වක්‍රයක් x=2+cos 2𝜃,y=4sin 𝜃 යන සමීකරණය මගින් දෙනු ලැබේ. dy

dx ව්‍යුත්පන්නය 𝜃 ඇසුරින් සොයා 𝜃=𝜋

4 වන ලක්ෂයේදී C වක්‍රයට ඇඳි අභිලම්බ සමීකරණය x-2 y+2=0 බව පෙන්වන්න, 2015 y=x sin 1

x යැයි ගනිමු. ( i ) x dy

dx=y-cos 1

x බව පෙන්වන්න, ( ii ) x4d2y

dx2+y=0 බව පෙන්වන්න. 2015 n∈Z+ සඳහා limy→ayn-an

y-a=nan-1 ප්‍රතිඵලය භාවිතයෙන් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ limx→0 (x+2)4-4

sin 4x=22 බව පෙන්වන්න. 2014 limx→0 tan2 2x

x[1-1+x2]=-8 බව පෙන්වන්න. 2013 limx→0 1-cosx

1-x2-1+x2= 1

2 බව පෙන්වන්න. 2012 limx→0x sin x

2sin23x-x2cosx=1

17 බව පෙන්වන්න. 2011 limx→04+3sin x-4-3sinx

2x=3

4 උත්තරය බලන්න 2010 ( a ) limx→01-cos 4x+x sin 3x

x2 අගයන්න. ( b ) ( i ) y= tan-1(1+x2-1

x)හා z= tan-1x යැයි ගනිමු. dy

dx සොයන්න. ( ii ) y=em sin-1x යැයි ගනිමු. මෙහි m නියතයකි (1-x2) d2y

dx2-x dy

dx-m2y=0 බව පෙන්වන්න. x=0 හි දී, d3y

dx3 අගය සොයන්න. 2009 ( a ) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් f(x)=sin x ශ්‍රිතයෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. g(x)=cos x ව්‍යුත්පන්නය අපෝහනය කරන්න. ( i ) sin(ln(1+x2)) ( ii ) cos(sinx) x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. ( b ) y=sin k𝜃 cosec 𝜃 සහ x= cos 𝜃 යැයි ගනිමු. මෙහි k නියතයකි. ( i ) (1-x2)dy

dx-xy+kcos k𝜃=0 ( ii ) (1-x2)d2y

dx2-3xdy

dx+(k2-1)y=0 බව සාධනය කරන්න. 2008 ( a ) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් f(x)=tan x ශ්‍රිතයෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. ( b ) y යනු u හි අවකල්‍යය ශ්‍රිතයක් සහ -𝜋

2<x<𝜋

2 විට u=ln(cos x) නම් sin3x (d2y

du2)=sin x cos2x (d2y

dx2)-cos x(dy

dx) බව පෙන්වන්න 2007 ( i ) ඕනෑම r ධන නිඛිලයක් සඳහා dr

dxr(xex)=(x+r)ex බව පෙන්වන්න. ( ii ) y=x2ex නම් dy

dx=2xex+y බව සාධනය කරන්න. dry

dxr-dr-1y

dxr-1=2(x+r-1)ex බව අපෝහනය කරන්න. එනයින් ඕනෑම n ධන නිඛිලයක් සඳහා dry

dxr=n(2x+n-1)+y බව පෙන්වන්න. 2006 y=(1+4x2)tan-12x යැයි ගනිමු( i ) (1+4x2)dy

dx-8xy=2(1+4x2) සහ( ii ) (1+4x2)d2y

dx2-8y=16x බව පෙන්වන්න. (d3y

dx3)x=0සොයන්න. 2005 y= 1

2(sin-1x)2 නම් (1-x2)d2y

dx2-xdy

dx-1=0 බව සාධනය කරන්න. (d2y

dx2)x=0 (d3y

dx3)x=0 (d4y

dx4)x=0සොයන්න 2004y=e-x(cos 2x+ sin 2x) යැයි ගනිමු. dy

dx+y=2e-x(cos2x-sin2x) බව පෙන්වන්න.d2y

dx2+pdy

dx+qy=0 වන අයුරින් p හා q නිර්ණය කරන්න. (d3y

dx4)x=0සොයන්න 2003 y=ecos x නම්, (dy

dx)x=0, (d2y

dx2)x=0, (d3y

dx3)x=0 , (d4y

dx4)x=0, (d5y

dx5)x=0සොයන්න 2002y=e4x sin3x නම්, d2y

dx2-8dy

dx-25y=0 බව පෙන්වන්න. (dy

dx)x=0, (d2y

dx2)x=0, (d3y

dx3)x=0 සොයන්න 2001 x=t-sin t සහ y=1-cos t නම්, t≠ 2n𝜋, n∈ Z සඳහා y(d3y

dx3)+2(dy

dx)(d2y

dx2)=0 බව පෙන්වන්න. 2000 ( a ) limx→0 1-cos2(2sin x)

1-cos 2x අගය සොයන්න. ( b ) y= ek sin-1x නම් dy

dx(1-x2)=ky බව සාධනය කරන්න. මෙහි k නියතයකි 1999 ( a ) tan -1x+tan-1y=𝜋

2 නම්, x=1 විට, dy

dx සොයන්න.( b ) y=[ln(x+1+x2)]2 නම් (1+x2)d2y

dx2=4y බව සාධනය කරන්න. 1998 f(x)=x2-3x+2

x2+7x+12 යැයි ගනිමු.( i ) x හි කිසිම තාත්වික අගයක් සදහා -7-43 සහ -7+43 අතර f(x) නොපිහිටන බව පෙන්වන්න. ( ii ) A+B

x-4+C

x-3 ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කරන්න. මෙහි A, B, C නියත වේ. ඒ නයින් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ f හි උපරිම සහ අවම සොයන්න. ( iii ) f හි සිරස් සහ තිරස් ස්පර්ශෝන් මුඛවල සමීකරණ සොයන්න.( iv ) f හි ප්‍රස්ථාරයේ කටු සටහනක් අදින්න 1998 ( i ) f යනු R හි එක් එක් x හිදී (f(x))3-x(f(x))2-x2f(x)-2x3-7x4+7x5=0 අවශ්‍යතාවය තෘප්තකරන R මත අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක් යැයි සිතමු. ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීම භාවිතයෙන් f′(0)=2 බව පෙන්නන්න f′(2) අගයන්න.( ii ) x>1 සඳහා y=(x2-1

x2+1)xනම්, dy

dx සොයන්න.( iii ) x2+2xy-y2=tan-1x-9 නම්, (0,3) ලක්ෂ්‍යයෙහි දී ද dy

dx සොයන්න. 1997 ( i ) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් d(sin(3x))

dx=3 cos (3x) බව සාධනය කරන්න.( ii ) x>0 සඳහා y=x+x+x නම්, 2y=1+1

2x+x+1

4x(x+x) බව පෙන්වන්න. 1997 ( a ) limx→0 4+x2-2

x2 අගය සොයන්න. ( b ) 0<x<𝜋

2 සදහා x-x3

6< sin x <x-x3

6+x5

120 බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් limx→0+x-sinx

x3 බව පෙන්වන්න. limx→0x-sinx

x3 බව අපොහණය කරන්න . 1996 ( i ) ( a ) limx→5 x-1-2

x2-25 ( b ) limx→0 sin(2x) -x

tan(3x)-2x සොයන්න( ii ) d

dxsecx= sec x tan x බව ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් සාධනය කරන්න. d

dxsec-1( x )=1

|x|x2-1 , |x|>1 බව අපොහණය කරන්න .( iii ) ( a ) y=sin(sinx) නම්, d2y

dx2+tan(x)dy

dx+ycos2x=0 බව පෙන්වන්න. ( b ) k යනු නියතයක්ද 𝜃≠0, cos 𝜃≠0 ද විට x=k(cos𝜃+𝜃sin𝜃) , y=k(cos𝜃-𝜃sin𝜃) නම්, 𝜃 හි ශ්‍රිත ලෙස dy

dx සහ d2y

dx2 සොයන්න. 1995 ( i ) ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමෙන් පටන්ගෙන y=-cotx-x ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. ( ii ) y යනු x හි ශ්‍රිතයක් වන අතර ඒවා xdy

dx=3(y2x6-y+4) යන්නෙන් සම්බන්ධ වී ඇත. a ) y=2

x3tan(2x3-𝛼)යන්න ඉහත සම්බන්ධය සපුරාලන බව ඍජු අදේශයෙන් පෙන්වන්න. මෙහි 𝛼 නියතයකි . b ) එම සම්බන්ධය dy

dx=2x2(4+v2) යන්නට ඌනනය කල හැකි බව පෙන්නන්න. මෙහි v=x3y වේ.( iii) x=2t3+1 සහ x=2t4+1 නම් (dy

dx)(d3y

dx3)+2(d2y

dx2)2=0 බව පෙන්නන්න. 1994 ( a ) x≠0 විට ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් d

dx(cos1

x)ලබාගන්න( b ) y=e-xsin(x3) නම්, dy

dx=-2e-xsin(x3-𝜋

3) බව පෙන්නන්න. ඒ නයින් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ 𝜆y ප්‍රකාශ කල හැකි බව පෙන්නන්න. මෙහි 𝜆 යනු නිර්ණය කලයුතු නියතයකි. ( c ) x=sin 𝜃 සහ y=sin n𝜃 යැයි ගනිමු. මෙහි n නියතයක් ද 0<x<𝜋

2 වේ. n සහ 𝜃 ඇසුරින් dy

dx සහ d2y

dx2 ලබාගෙන, එනයින් බව (1-x2) d2y

dx2-x dy

dx+n2y=0 පෙන්නන්න. 1993 ( a ) -1<x<1 විට x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. i ) tan-1(1

1-x)-tan-1(1

1+x) ii ) sin-1(2x

4+x4)( b ) උත්තර දෙකම සමාන වන්නේ මන්දැයි පැහැදිලි කරන්න. ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් ,x විෂයයෙන් sec x හි ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. -𝜋

2<x<𝜋

2 සහ y=(sec x+tan x)1

2 නම්, i ) 2(dy

dx) =y sec x ii ) 2(d2y

dx2) =(sec x+2 tan x)(dy

dx) බව සාධනය කරන්න. 1992 1991 1990 1989 1988