a හා b යනු නිශ්ශුන්‍ය අසමාන්තර දෛශික වන අතර xa + yb = 0 වෙයි. මෙහි x හා y අදිශ වේ. x = 0 හා y = 0 බව පෙන්වන්න. O, A, B ලක්ෂ්‍ය ඒක රේඛීය නොවේ. OA=a ද OB=b ද වේ
C යන OC=a+b පරිදි වන ලක්ෂ්‍යයයි. P යන BC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයයි. එවිට OP=1
2(a+2b) බව පෙන්වන්න.
OP රේඛාවට R හිදී AB හමුවේ නම්RB=b-k(a+2b) බවද පෙන්වන්න. k යනු අදිශයකි. RB ටත් AB ටත් එකම දිශාව ඇතැයි යන කරුණ භාවිතා කිරීමෙන් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ AR : RB = 2 : 1 බව පෙන්වන්න.
OACB යනු සමාන්තරාස්‍රයකි. එහිOA,OBපාද පිළිවෙලින් a සහ b දෛශික නිරූපණය කෙරේ. L , M යනු පිළිවෙලින් AC හිත් CB හිත් මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයයි. X හි දී OL සහ AM ඡේදනය වේ.
a හා b යනු සමාන්තර නොවන්නා වූත් ශුන්‍ය නොවන්නා වූත් දෛශික දෙකකි. αa+βb=0 නම් මෙවිට α=0 හා β=0 බව පෙන්වන්න.
A හා B යනු දී තිබෙන O මූලයට සාපේක්ෂව a හා b පිහිටුම් දෛශික සහිතව AB රේඛාව මත නොවන්නා වූ ලක්ෂ්‍ය දෙකකි. AOB හා OAB කෝණ වල අභ්‍යන්තර සමච්ඡේදක R හිදී හමුවේ.
O, A, B, C යනු O, A, B ලක්ෂ්‍ය ඒක රේඛීය නොවන පරිදි වූ ප්‍රහින්න ලක්ෂ්‍යය 4 කි. α හා β යනු නිශ්ශුන්‍ය සංඛ්‍යා විට OA=a,OB=b,OC=αa+βb වේ.
OA රේඛාව මත D නම් ලක්ෂ්‍යයක් ගෙන ඇත්තේOD=γa වන පරිදිය. DC=δb වන අයුරින් γ හිත් δ හිත් අගයන් සොයන්න.
α,β,a හා b ඇසුරෙන්AB හා ACප්‍රකාශ කරන්න. α+β=1 නම් A, B, C ලක්ෂ්‍ය ඒක රේඛීය බව පෙන්වන්න. තවද A ත් B ත් අතර C පිහිටන බව දී ඇත්නම් α ඇසුරෙන් පමණක් AC:CB අනුපාතය ප්‍රකාශ කර 0<α<1 බව අපෝහනය කරන්න.
P, Q යනු OP=2a දOQ=2
3 b ද වන පරිදි වූ ලක්ෂ්‍ය දෙකකි. AB හිත් PQ හිත් ඡේදන ලක්ෂ්‍ය R ය. a හා b ඇසුරෙන්OR ප්‍රකාශ කර AR:RB හා PR:RQ යන අනුපාත සොයන්න.
(1991)
19
අ)a හා b යන නිශ්ශුන්‍ය දෛශික දෙකේ a, b අදිශ ගුණිතය අර්ථ දක්වන්න. පහත සඳහන් ඒවා පිහිටුවන්න.i)(-a).b=a.(-b)=-a.b ii)a හා b ලම්භ නම් පමණක් a. b = 0, c යනු ඒකක දෛශිකයක් නම් c, b ජ්‍යාමිතික ලෙස විවරණය කරන්න. a, b හා c යනු ඕනෑම දෛශික තුනක් සඳහා a.( b + c)= a. b + a. c බව පෙන්වන්න.
ආ)ABC යනු ත්‍රිකෝණයකි. අදිශ ගුණිතය පිළිබඳ ගුණ භාවිත කර ABCත්‍රිකෝනයේ A, B, C යන ශීර්ෂ වල සිට පිළිවෙලින් BC, CA, AB සම්මුඛ පාද වලට ඇදි AL, BM, CN ලම්බ ඒක ලක්ෂ්‍ය වන බව පෙන්වන්න.
(1991)
20
O ලක්ෂ්‍යයක් අනුබද්ධයෙන් A, B සහ C ප්‍රහින්න ලක්ෂ්‍ය තුනේ පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් a, b සහ αa+βb වෙයි. α+β=1 නම් පමණක් A, B සහ C ඒක රේඛීය බව සාධනය කරන්න.
P, Q, R හා S යනු පිළිවෙලින් OP=p,OQ=q,QR=r හා(OS) ⃗=s පිහිටුම් දෛශික සහිත ප්‍රහින්න ලක්ෂ්‍ය 4 කි. P, Q, R, S ඒක රේඛීය වෙයි නම් r=(1-α)p+αq ද s=(1-β)p+βq ද වන පරිදි α සහ β යන නිශ්ශුන්‍ය සංඛ්‍යා දෙකක් පවතින බව පෙන්වන්න
. P, Q, R, S ලක්ෂ්‍ය පිළිවෙලින් ABCD තල චතුරශ්‍රයේ DA, AB, CD හා BC පාද මත පිහිටන්නේ DP=γPA,AQ=λQB,CR=νRD,BS=μSCවන පරිදිය.
මෙහි λμνγ≠0 වෙයි. AB=b,AC=c හා AD=d නම් මූල ලක්ෂ්‍යය A ලෙස ගෙන එය අනුබද්ධයෙන් P, Q, R, S ලක්ෂ්‍ය වල පිහිටුම් දෛශික b, c, d, λ,μ,γ ඇසුරෙන් ලියා දක්වන්න.
ඒ නයින් P, Q, R, S සරල රේඛාවක් මත පිහිටයි නම් බව පෙන්වන්න.
(1995)
26
a, b හා c යනු ඕනෑම නිශ් ශුන්‍ය දෛශික තුනක් යැයි සිතමු. a
|a|.b අදිශ ගුණිතය ජ්‍යාමිතික ලෙස විවරණය කරන්න. එනයින් a.(b + c)= a. b + a . c බව සාධනය කරන්න.
OAB ත්‍රිකෝනයේ OA=a ද OB=b යැයි සිතමු. OA > OB යැයි සිතමු. L හා M යන පිළිවෙලින් OL=l=λa+(1-λ)b දOM=m=μa+(1-μ)b ද යන පිහිටුම් දෛශික සහිත ලක්ෂ්‍යයයි.
OL හා OM රේඛා මගින් පිළිවෙලින් අභ්‍යන්තර ලෙසත් බාහිර ලෙසත් AOB කෝණය සමච්ඡේදනය වන පරිදි λ හි හා μ හි අගය අදිශ ගුණිතය උපයෝගී කරගෙන a =|a| හා b =|b|ඇසුරෙන් නිර්ණය කරන්න.
i)AL
LB=AM
MB=OA
OB බවත්ii)LM=2ab
a2-b2(b-a) බවත් අපෝහනය කරන්න.
(1995)
27
O ලක්ෂ්‍යයක් අනුබද්ධයෙන් A, B හා C යන ප්‍රහින්න ලක්ෂ්‍ය තුනක පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් a, b හා αa+βb වේ. මෙහි α,β යනු අදිශයි. α+β=1 නම් පමණක් A, B හා C ඒක රේඛීය බව සාධනය කරන්න.
PQR සහ LMN ත්‍රිකෝණ 2 කෙසේද යත් PL, QM හා RN රේඛා O ලක්ෂ්‍යයකදී ඒක ලක්ෂ්‍ය වන පරිදි ය. O ලක්ෂ්‍ය අනුබද්ධයෙන් P, Q හා R ලක්ෂ්‍ය වල පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් p, q හා r වෙයි. QR රේඛාවත් MN රේඛාවත් A හි දී ද RP රේඛාවත් NL රේඛාවත් B හිඳී ද PQ රේඛාවත් LM රේඛාවත් C හිදී ද හමුවේ.
OA=μq-νr
μ-vOB=vr-λp
ν-λ,OC=λp-μq
λ-μ වන පරිදි λ,μ හා v යන ප්‍රහින්න අදිශ තුනක් පවතින බව පෙන්වන්න.A, B හා C ඒක රේඛීය බව අපෝහනය කරන්න.
(1996)
28
a හාb නිශ්ශුන්‍ය දෛශික දෙකක a b අදිශ ගුණිතය අර්ථ දක්වන්න.අ)පහත සඳහන් එක් එක් අවස්ථාවේදී a හා b අතර කෝණය සොයන්න.
i) a.(a + 2b)= 0 සහ |b|=|a|ii)|a + b|=|a – b|
29
-2p+5q,7p-q හාp+3qයනු අචල O මූල ලක්ෂ්‍යයක් අනුබද්ධයෙන් පිළිවෙලින් A, B හා C ලක්ෂ්‍ය තුනක පිහිටුම් දෛශික යයි ගනිමු. මෙහිp,qයනු සමාන්තර නොවන දෛශික දෙකක් වේ. A, B හා C ලක්ෂ්‍ය ඒක රේඛීය බව පෙන්වා C ලක්ෂ්‍ය AB බෙදන අනුපාතය සොයන්න.
a=1+63 j වේ. මෙහි i හා j සුපුරුදු අර්ථය ඇත. b යනු විශාලත්වය 3සහිත දෛශිකයකි. a හා b දෛශික අතර කෝණය π
3 නම් b යන්න xi + yj ආකාරයෙන් සොයන්න. මෙහි x (<0) හා y යනු නිර්ණය කළ යුතු නියත වෙයි
(2012)
32
A හා B යනු O ලක්ෂ්‍යයක් සමග ඒක රේඛීය නොවන ප්‍රහින්න ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යැයි ගනිමු. O ලක්ෂ්‍ය අනුබද්ධයෙන් A හා B ලක්ෂ්‍යවල පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් a හා b යයි ගනිමු. D යන BD = 2DA වන පරිදි AB මත පිහිටි ලක්ෂ්‍යය නම් O ලක්ෂ්‍ය අනුබද්ධයෙන් D ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටුම් දෛශිකය 1
3(2a+b) බව පෙන්වන්න.
BC=ka(k>1)හා O, D හා C ලක්ෂ්‍ය ඒක රේඛීය නම් k හි අගය හා OD:DC අනුපාතය සොයන්න. a හා b ඇසුරෙන් ACප්‍රකාශ කරන්න.
තවද AC සමාන්තරව O ලක්ෂ්‍ය ඔස්සේ යන රේඛාව E හිදී AB හමුවේ නම් 6DE = AB බව පෙන්වන්න.
(2012)
33
සුපුරුදු අංකනයෙන් O අචල මූලයකට අනුබද්ධයෙන් A හා B ලක්ෂ්‍ය දෙකක පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින්i හා i + j යැයි ගනිමු. C යනු A හරහා OB සමාන්තර සරල රේඛාව මතුවූ ලක්ෂ්‍යයක් යැයි ගනිමු.
OC=(1+λ)i+2j බව පෙන්වන්න. මෙහි λ යනු තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වෙයි. OB BC ලම්භ වන පරිදි වූ λ අගය සොයන්න.
(2013)
34
OABC යනු චතුරශ්‍රයක් යැයිද D හා E යනු පිළිවෙලින් OB හා AC විකර්ණ වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යැයි ගනිමු. කවද DE මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය F යැයි ගනිමු. O අනුබද්ධයෙන් A, B හා C ලක්ෂ්‍ය වල පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් a, b හා c යැයි ගනිමින්OF=1
4(a+b+c)බව පෙන්වන්න.
P හා Q යන පිළිවෙලින් OA හා BC පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යැයි ගනිමු. P, F හා Q ලක්ෂ්‍ය ඒක රේඛීය බව පෙන්වා PF : FQ අනුපාතය සොයන්න.
A හා B සමග ඒක රේඛීය නොවන O අචල මූලයක් අනුබද්ධයෙන් Aහා B ප්‍රහින්න ලක්ෂ්‍ය දෙකක පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් a හා b වේ. O අනුබද්දයෙන් C ලක්ෂ්‍යයක පිහිටුම් දෛශිකය c=(1-λ)a+λb යැයි ගනිමු. මෙහි 0<λ<1 වේ. හාCBදෛශික a, b හා λ ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කරන්න.