a 2.1 ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය 2.2 y=xn ශ්‍රිතයෙ ව්‍යුත්පන්නය 2.3 අවකලනය පිළිබඳ මූලික ප්‍රමේයන් 2.1 ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය ඩෙල්ට අංකනය f(x) ශ්‍රිතය මත පිහිටි P(x0,y0) ලක්ෂ්‍ය ගැන සිතන්න. P හි x ඛණ්ඩාංකට ඉතා කුඩා වෘද්ධියක් (Δx) ලබාදුන්විට y ඛණ්ඩාංකයෙ වෙනස්වීම Δy= f(x0+Δx)–f(x0) වේ. ඩෙල්ට අනුපාතය පහත ආකාරයට ලිවිය හැක Δy

Δx=Change in y

Change in x= f(x0+ Δx)–f(x0)

Δx (වෘද්ධි අනුපාතය) f(x) ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීම x=x0 ලක්ෂ්‍යයේදී ව්‍යුත්පන්නය Δx→0 වන විට පහත සීමාව පවතී නම්, ව්‍යුත්පන්නය මෙසේ ලිවිය හැක. limΔx→0Δy

Δx=limΔx→0 f(x0+ Δx)–f(x0)

Δx f′(x0)= limx→x0 f(x)–f(x0)

x–x0 ඕනෑම x අගයක් සඳහා f(x) ව්‍යුත්පන්නය limΔx→0Δy

Δx=limΔx→0 f(x+ Δx)–f(x)

Δx (මෙය ඕනෑම ලක්ෂයක් සඳහා සාධාරණ ආකාරය වේ) පහත ඕනෑම ආකාරයකින් ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය ප්‍රකාශ කල හැක dy

dx = Dxy=y′=f′(x)= d

dxy=d

dxf(x)=limΔx→0Δy

Δx

f(x)=x2+1ව්‍යුත්පන්නය සොයන්නශ්‍රිතයේඋදාහරණවිසදුම(dy

dx)=limΔx→0 f(x+ Δx)–f(x)

Δx =limΔx→0 [(x+ Δx)2+1]–(x2+1)

Δx =limΔx→0 2xΔx+(Δx)2

Δx =limΔx→0 2x+Δx = 2x 2.1.1 ව්‍යුත්පන්නය ස්පර්ශක රේඛාවේ බෑවුම ලෙස 2.1.2 ව්‍යුත්පන්නය සීමාවක් ලෙස 2.1.3 ව්‍යුත්පන්නය වෙනස්වීමේ සීග්‍රතාවය ලෙස 2.2 y=xn ශ්‍රිතයෙ ව්‍යුත්පන්නය ක්‍රම දෙකකට සෙවිය හැක ක්‍රමය 1 ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 (x+∆x)n–xn

∆x A=x+∆x =limA→x An–xn

A–x = nxn-1 ක්‍රමය 2 ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 (x+∆x)n–xn

∆x =limΔx→0 xn+n(Δx)xn-1+n(n-1)

2!(Δx)2xn-2+ . . . +(Δx)n–xn

∆x =limΔx→0 n(Δx)xn-1+n(n-1)

2!(Δx)2xn-2+ . . . +(Δx)n

∆x =nxn-1 2.3 අවකලනය පිළිබඳ මූලික ප්‍රමේයන් 2.3.1 නියතයක අවකලනය 0 වේ f(x)=c නම් f′(x)=0 ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව ; f′(x)=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 c–c

∆x = 0 2.3.2 f(x)=c g(x) නම් f′(x)=cg′(x) f′(x)=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 c g(x+Δx)–cg(x)

∆x=limΔx→0 c [ g(x+Δx)–g(x)]

∆x =climΔx→0 [ g(x+Δx)–g(x)]

∆x =c g′(x) 2.3.3 ශ්‍රිත දෙකක එකතුවෙහි අවකලනය f(x)=g(x)+h(x) නම් f′(x)=g′(x)+h′(x) f′(x)=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 g(x+ ∆x)+h(x+Δx)–[g(x)+h(x)]

∆x =limΔx→0 g(x+ ∆x)–g(x)

∆x+limΔx→0 h(x+ ∆x)–h(x)

∆x =g′(x)+h′(x) 2.3.4 ශ්‍රිත දෙකක වෙනසෙහි අවකලනය f(x)=g(x)–h(x) නම් f′(x)=g′(x)–h′(x) f′(x)=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 g(x+ ∆x)–h(x+Δx)–[g(x)–h(x)]

∆x =limΔx→0 g(x+ ∆x)–g(x)

∆x–limΔx→0 h(x+ ∆x)–h(x)

∆x =g′(x)–h′(x) 2.3.5 ගුණිතයක අවකලන සංගුණකය f(x)=u(x)v(x) ලෙස ගනිමු. ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 u(x+ ∆x)v(x+Δx)–u(x)v(x)

∆x =limΔx→0 u(x+ ∆x)v(x+Δx)–u(x+ ∆x)v(x)+u(x+ ∆x)v(x) –u(x)v(x)

∆x =limΔx→0 u(x+ ∆x)[v(x+Δx)–v(x)]+v(x)[u(x+ ∆x)–u(x)]

∆x =(limΔx→0u(x+ ∆x))(limΔx→0 [v(x+Δx)–v(x)]

Δx)+(limΔx→0v(x))(limΔx→0[u(x+ ∆x)–u(x)]

Δx) =u(x)d

dx[v(x)]+v(x)d

dx[u(x)]

f(x)= (x2+2x)sin xව්‍යුත්පන්නය ශ්‍රිතයේඋදාහරණවිසදුම(dy

dx)= (x2+2x)d

dx(sin x)–sin xd

dx(x2+2x)(dy

dx)= (x2+2x)cos x–sin x(2x+2)සොයන්න 2.3.6 ලබ්ධියක අවකලන සංගුණකය (Quotient rule) f(x)= u(x)

v(x) ලෙස ගනිමු. ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 u(x+ ∆x)

v(x+ ∆x)–u(x)

v(x)

∆x =limΔx→0v(x)u(x+ ∆x)–u(x)v(x+ ∆x)

v(x+ ∆x)v(x)(∆x) =limΔx→0v(x)u(x+ ∆x)–u(x)v(x+ ∆x)

(∆x) ( limΔx→01

v(x+ ∆x)v(x)) =limΔx→0v(x)[u(x+ ∆x)–u(x)]–[u(x)v(x+ ∆x)–v(x)]

(∆x) ( 1

[v(x)]2) =[limΔx→0v(x)[u(x+ ∆x)–u(x)]

(∆x)–limΔx→0u(x)[v(x+ ∆x)–v(x)]

(∆x) ]( 1

[v(x)]2) =[v(x)(limΔx→0[u(x+ ∆x)–u(x)]

(∆x))–u(x)(limΔx→0[v(x+ ∆x)–v(x)]

(∆x)) ]( 1

[v(x)]2) = v(x)d

dx[u(x)]–u(x)d

dx[v(x)]

[v(x)]2 මෙය පහත ආකාරයට ඉතා පහසුවෙන් මතක තියා ගත හැක.

f(x)= x2

(x+2)ව්‍යුත්පන්නය සොයන්නශ්‍රිතයේඋදාහරණවිසදුම(dy

dx)= (x+2)d

dx(x2)–x2d

dx(x+2)

(x+2)2(dy

dx)= (x+2)(2x)–x2(1)

(x+2)2=2x2+4x–x2

(x+2)2(dy

dx)= x2+4x

(x+2)2 2.4 ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය 2.4.1 y= sin x ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව ; limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 sin(x+ ∆x)–sin(x)

∆x =limΔx→0 sin(x)cos(∆x)+cos(x)sin(∆x)–sin(x)

∆x =limΔx→0 sin(x)[cos(∆x)–1]

∆x +limΔx→0cos(x)sin(∆x)

∆x =limΔx→0sin(x)sin(∆x/2) sin(∆x/2)

∆x +limΔx→0cos(x)sin(∆x)

∆x =sin(x)sin(0) (sin(∆x/2)

∆x) +limΔx→0(sin(∆x)

∆x)cos(x) =cos(x) 2.4.2 y= cos x cos C–cos D =2sin(C+D

2)sin(D–C

2) භාවිතා කිරීමෙන් ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව ; limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0 cos(x+ ∆x)–cos(x)

∆x =limΔx→0 2sin(x+Δx

2)sin(–Δx

2)

∆x=limΔx→0(–1)sin(x+Δx

2) sin(Δx

2)

∆x

2 =(–1)sin(x+0) (1) = –sin x 2.4.3 y= tan x ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව ; limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x =limΔx→0tan( x+∆x)–tan x

∆x =limΔx→0sin(x+∆x)

cos(x+∆x)–sin x

cos x

∆x = limΔx→0cos x sin(x+∆x) – sin x cos(x+∆x)

cos x cos(x+∆x) ∆x =limΔx→0 sin(x+∆x–x)

cos x cos(x+∆x) ∆x = limΔx→01

cosx cos (x+Δx) (sin(Δx)

Δx) =1

cosx cos (x+0) (1) = sec2x 2.4.4 y= cosec x ( i ) ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමට අනුව ; limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 f(x+ ∆x)–f(x)

∆x limΔx→0∆y

∆x=limΔx→0 1

sin(x+Δx)– 1

sin(x)

∆x=limΔx→0sin(x)–sin(x+Δx)

sin(x+Δx)sin(x)Δx=limΔx→02cos(x+Δx

2)sin(-Δx

2)

sin(x+Δx)sin(x)Δx =(–1)limΔx→0 cos(x+Δx

2)

sin(x+Δx)sin(x) (sin(Δx

2)

Δx

2) = cos(x+0)

sin(x+0)sin(x) (1) = cosec(x) cot(x) ( ii ) 2.4.5 y= sec x 2.4.3 y= cot x 2.5 ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය

a20170<𝛼<𝜋

2 යැයි ගනිමු. limx→𝛼x3–𝛼3

tan x–tan 𝛼 බව පෙන්වන්න. Answer: www.ganithaya.com/combine/ 2016a>0 යැයි ගනිමු. limx→01–cos(ax)

4+x2–4–x2=16 වන පරිදි වූ 𝛼 හි අගය සොයන්න. 2015තාත්වික පරාමිතියක් ඇසුරෙන් xy තලයේ C වක්‍රයක් x=2+cos 2𝜃,y=4sin 𝜃 යන සමීකරණය මගින් දෙනු ලැබේ. dy

dx ව්‍යුත්පන්නය 𝜃 ඇසුරින් සොයා 𝜃=𝜋

4 වන ලක්ෂයේදී C වක්‍රයට ඇඳි අභිලම්බ සමීකරණය x–2 y+2=0 බව පෙන්වන්න, 2015 y=x sin 1

x යැයි ගනිමු. ( i ) x dy

dx=y–cos 1

x බව පෙන්වන්න, ( ii ) x4d2y

dx2+y=0 බව පෙන්වන්න. 2015 n∈Z+ සඳහා limy→ayn–an

y–a=nan-1 ප්‍රතිඵලය භාවිතයෙන් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ limx→0 (x+2)4–4

sin 4x=22 බව පෙන්වන්න. 2014 limx→0 tan2 2x

x[1–1+x2]=–8 බව පෙන්වන්න. 2013 limx→0 1–cosx

1–x2–1+x2= 1

2 බව පෙන්වන්න. 2012 limx→0x sin x

2sin23x–x2cosx=1

17 බව පෙන්වන්න. 2011 limx→04+3sin x–4–3sinx

2x=3

4 උත්තරය බලන්න 2010 ( a ) limx→01–cos 4x+x sin 3x

x2 අගයන්න. ( b ) ( i ) y= tan-1(1+x2–1

x)හා z= tan-1x යැයි ගනිමු. dy

dx සොයන්න. ( ii ) y=em sin-1x යැයි ගනිමු. මෙහි m නියතයකි (1–x2) d2y

dx2–x dy

dx–m2y=0 බව පෙන්වන්න. x=0 හි දී, d3y

dx3 අගය සොයන්න. 2009 ( a ) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් f(x)=sin x ශ්‍රිතයෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. g(x)=cos x ව්‍යුත්පන්නය අපෝහනය කරන්න. ( i ) sin(ln(1+x2)) ( ii ) cos(sinx) x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. ( b ) y=sin k𝜃 cosec 𝜃 සහ x= cos 𝜃 යැයි ගනිමු. මෙහි k නියතයකි. ( i ) (1–x2)dy

dx–xy+kcos k𝜃=0 ( ii ) (1–x2)d2y

dx2–3xdy

dx+(k2–1)y=0 බව සාධනය කරන්න. 2008 ( a ) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් f(x)=tan x ශ්‍රිතයෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. ( b ) y යනු u හි අවකල්‍යය ශ්‍රිතයක් සහ –𝜋

2<x<𝜋

2 විට u=ln(cos x) නම් sin3x (d2y

du2)=sin x cos2x (d2y

dx2)–cos x(dy

dx) බව පෙන්වන්න 2007 ( i ) ඕනෑම r ධන නිඛිලයක් සඳහා dr

dxr(xex)=(x+r)ex බව පෙන්වන්න. ( ii ) y=x2ex නම් dy

dx=2xex+y බව සාධනය කරන්න. dry

dxr–dr-1y

dxr-1=2(x+r–1)ex බව අපෝහනය කරන්න. එනයින් ඕනෑම n ධන නිඛිලයක් සඳහා dry

dxr=n(2x+n–1)+y බව පෙන්වන්න. 2006 y=(1+4x2)tan-12x යැයි ගනිමු( i ) (1+4x2)dy

dx–8xy=2(1+4x2) සහ( ii ) (1+4x2)d2y

dx2–8y=16x බව පෙන්වන්න. (d3y

dx3)x=0සොයන්න. 2005 y= 1

2(sin-1x)2 නම් (1–x2)d2y

dx2–xdy

dx–1=0 බව සාධනය කරන්න. (d2y

dx2)x=0 (d3y

dx3)x=0 (d4y

dx4)x=0සොයන්න 2004y=e-x(cos 2x+ sin 2x) යැයි ගනිමු. dy

dx+y=2e-x(cos2x–sin2x) බව පෙන්වන්න.d2y

dx2+pdy

dx+qy=0 වන අයුරින් p හා q නිර්ණය කරන්න. (d3y

dx4)x=0සොයන්න 2003 y=ecos x නම්, (dy

dx)x=0, (d2y

dx2)x=0, (d3y

dx3)x=0 , (d4y

dx4)x=0, (d5y

dx5)x=0සොයන්න 2002y=e4x sin3x නම්, d2y

dx2–8dy

dx–25y=0 බව පෙන්වන්න. (dy

dx)x=0, (d2y

dx2)x=0, (d3y

dx3)x=0 සොයන්න 2001 x=t–sin t සහ y=1–cos t නම්, t≠ 2n𝜋, n∈ Z සඳහා y(d3y

dx3)+2(dy

dx)(d2y

dx2)=0 බව පෙන්වන්න. 2000 ( a ) limx→0 1–cos2(2sin x)

1–cos 2x අගය සොයන්න. ( b ) y= ek sin-1x නම් dy

dx(1–x2)=ky බව සාධනය කරන්න. මෙහි k නියතයකි 1999 ( a ) tan -1x+tan-1y=𝜋

2 නම්, x=1 විට, dy

dx සොයන්න.( b ) y=[ln(x+1+x2)]2 නම් (1+x2)d2y

dx2=4y බව සාධනය කරන්න. 1998 f(x)=x2–3x+2

x2+7x+12 යැයි ගනිමු.( i ) x හි කිසිම තාත්වික අගයක් සදහා –7–43 සහ –7+43 අතර f(x) නොපිහිටන බව පෙන්වන්න. ( ii ) A+B

x–4+C

x–3 ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කරන්න. මෙහි A, B, C නියත වේ. ඒ නයින් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ f හි උපරිම සහ අවම සොයන්න. ( iii ) f හි සිරස් සහ තිරස් ස්පර්ශෝන් මුඛවල සමීකරණ සොයන්න.( iv ) f හි ප්‍රස්ථාරයේ කටු සටහනක් අදින්න 1998 ( i ) f යනු R හි එක් එක් x හිදී (f(x))3–x(f(x))2–x2f(x)–2x3–7x4+7x5=0 අවශ්‍යතාවය තෘප්තකරන R මත අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක් යැයි සිතමු. ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීම භාවිතයෙන් f′(0)=2 බව පෙන්නන්න f′(2) අගයන්න.( ii ) x>1 සඳහා y=(x2–1

x2+1)xනම්, dy

dx සොයන්න.( iii ) x2+2xy–y2=tan-1x–9 නම්, (0,3) ලක්ෂ්‍යයෙහි දී ද dy

dx සොයන්න. 1997 ( i ) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් d(sin(3x))

dx=3 cos (3x) බව සාධනය කරන්න.( ii ) x>0 සඳහා y=x+x+x නම්, 2y=1+1

2x+x+1

4x(x+x) බව පෙන්වන්න. 1997 ( a ) limx→0 4+x2–2

x2 අගය සොයන්න. ( b ) 0<x<𝜋

2 සදහා x–x3

6< sin x <x–x3

6+x5

120 බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් limx→0+x–sinx

x3 බව පෙන්වන්න. limx→0x–sinx

x3 බව අපොහණය කරන්න . 1996 ( i ) ( a ) limx→5 x–1–2

x2–25 ( b ) limx→0 sin(2x) –x

tan(3x)–2x සොයන්න( ii ) d

dxsecx= sec x tan x බව ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් සාධනය කරන්න. d

dxsec-1( x )=1

|x|x2–1 , |x|>1 බව අපොහණය කරන්න .( iii ) ( a ) y=sin(sinx) නම්, d2y

dx2+tan(x)dy

dx+ycos2x=0 බව පෙන්වන්න. ( b ) k යනු නියතයක්ද 𝜃≠0, cos 𝜃≠0 ද විට x=k(cos𝜃+𝜃sin𝜃) , y=k(cos𝜃–𝜃sin𝜃) නම්, 𝜃 හි ශ්‍රිත ලෙස dy

dx සහ d2y

dx2 සොයන්න. 1995 ( i ) ව්‍යුත්පන්නය අර්ථදැක්වීමෙන් පටන්ගෙන y=–cotx–x ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. ( ii ) y යනු x හි ශ්‍රිතයක් වන අතර ඒවා xdy

dx=3(y2x6–y+4) යන්නෙන් සම්බන්ධ වී ඇත. a ) y=2

x3tan(2x3–𝛼)යන්න ඉහත සම්බන්ධය සපුරාලන බව ඍජු අදේශයෙන් පෙන්වන්න. මෙහි 𝛼 නියතයකි . b ) එම සම්බන්ධය dy

dx=2x2(4+v2) යන්නට ඌනනය කල හැකි බව පෙන්නන්න. මෙහි v=x3y වේ.( iii) x=2t3+1 සහ x=2t4+1 නම් (dy

dx)(d3y

dx3)+2(d2y

dx2)2=0 බව පෙන්නන්න. 1994 ( a ) x≠0 විට ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් d

dx(cos1

x)ලබාගන්න( b ) y=e-xsin(x3) නම්, dy

dx=–2e-xsin(x3–𝜋

3) බව පෙන්නන්න. ඒ නයින් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ 𝜆y ප්‍රකාශ කල හැකි බව පෙන්නන්න. මෙහි 𝜆 යනු නිර්ණය කලයුතු නියතයකි. ( c ) x=sin 𝜃 සහ y=sin n𝜃 යැයි ගනිමු. මෙහි n නියතයක් ද 0<x<𝜋

2 වේ. n සහ 𝜃 ඇසුරින් dy

dx සහ d2y

dx2 ලබාගෙන, එනයින් බව (1–x2) d2y

dx2–x dy

dx+n2y=0 පෙන්නන්න. 1993 ( a ) –1<x<1 විට x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. i ) tan-1(1

1–x)–tan-1(1

1+x) ii ) sin-1(2x

4+x4)( b ) උත්තර දෙකම සමාන වන්නේ මන්දැයි පැහැදිලි කරන්න. ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් ,x විෂයයෙන් sec x හි ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. –𝜋

2<x<𝜋

2 සහ y=(sec x+tan x)1

2 නම්, i ) 2(dy

dx) =y sec x ii ) 2(d2y

dx2) =(sec x+2 tan x)(dy

dx) බව සාධනය කරන්න. 1992 1991 1990 1989 1988

a සීමාව හා අවකලනය ( 01 ) 0<θ<𝜋

2 නම් sin⁡ 1<sin⁡ θ < tan ⁡θ බව ජ්‍යාමිතික ලෙස සාධනය කරන්න. ඒ නයින්, θ→+0 විට sin 𝜃

𝜃→1 බව පෙන්වන්න. θ→–0 විටද sin 𝜃

𝜃→1 බව අපෝහනය කරන්න. ප්‍රමූලධර්ම වලින් d

dx (sin x) සොයන්න. ඒ නයින් , පිලිවෙලින් d

dx (cos x) හා d

dx (sin-1 x)සෙවීම සදහා dy

dx=dy

dt×dt

dx හා dy

dx=1/dx

dy සූත්‍ර භාවිතා කරන්න. y=sin ⁡(a sin-1 x) නම් (1–x2 ) d2y

dx2–xdy

dx+a2y=0 බව සාධනය කරන්න. මෙහි a නියතයකි. (1975) ( 02 )i) n යනු ධන නිඛිලයක් නම්,lim x→axn–an

x– a=nan-1බව ඔප්පු කරන්න. ඒ නයින් d

dx (xn) =nxn-1 බව ප්‍රමූලධර්ම ඇසුරෙන් සාධනය කරන්න.ii) උපකල්පනය කරනු ලබන යම් මූලික සීමාවක් වෙයි නම් එය (සාධනය නොමැතිව ) සදහන් කරමින් d

dx (sin x) =කොස් x බව ප්‍රමූලධර්ම ඇසුරෙන් සාධනය කරන්න. d

dx (cos⁡ xn=–sin x බව අපෝහනය කරන්න.iii). f1(x) දf2(x) ද x හි අවකලනය කල හැකි ශ්‍රිත වන විට f(x)=f1 (x) f2 (x) වෙයි නම් d

dx a

f1(x),d dx f2 (x)

සහ f1(x) සහ f2 (x) ඇසුරෙන් d/dx f(x)සදහා සූත්‍රයක් ලබා ගන්න. m ද ධන නිඛිලයක් වන විට y=sinm+1 x cosn-1 x නම් dy

dx=(m+n) sinm x cosn x–(n–1) sinm x cosn-2 x බව සාධනය කරන්න. (1976) 03. y=x sin⁡ a

1 x

නම් x4 d2y

dx2 y=0 බව ඔප්පු කරන්න. x,y යනු x= cos4 t,y=sin4 t යන සම්බන්ධ වලින් සබැදුනු විචල්‍ය නම් t ඇසුරෙන් dy

dx ද d2y

dx2 සොයන්න. (1978) 04. n යනු ධන නිඛිලයක් විට x විෂයයෙන් xn හි ව්‍යුත්පන්නය (= අවකලන සංගුණකය ) ප්‍රමූලධර්ම වලින් ලබාගන්න. y = ලඝු x4 විට dy

dx සොයන්න. y = n ලඝු x ද ey=xnයනුවෙන් අර්ථ දැක්වෙන තුල්‍ය ශ්‍රිත ද එම ව්‍යුත්පන්නයම දෙන බව පෙන්වන්න. (1979) 05. lim𝜃→0 sin 𝜃

𝜃 = 1 බව උපකල්පනය කිරීමෙන් d

dx(sin⁡ x ද d

dx(cos ⁡x ද සොයන්න. a ද, b ද නියත විට, i) .sin⁡ (cos x) ii). sin1 (cos⁡x 0<x<π ) iii). cos⁡ ax sin⁡ d

dx iv). a+sin x

b+cos x යන මේවායෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්න (ඒවා පවතින විට) සොයන්න. (1979 අතුරු) 06. u,v යනු x හි අවකලනය කල හැකි ශ්‍රිත දෙකක් නම්, d

dx (uv)= u dv

dx+v du

dx සාධනය කරන්න. y=sin-1 x නම් dy

dx=1

1–x2 බව සාධනය කරන්න. i.) m නියතයක් වූ y= සයින් (m සයින්-1 x ) නම්,1=x2 dy

dx=m cos⁡ (m sin⁡ බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් (1–x2) d2y

dx x dy

dx+m2 y=0 බව ඔප්පු කරන්න. ii). 1<x<3

2 වන අතර u=2sin-1x–1 ද v=sin-1 2 (2–x) (x–1) ද නම් d/

dx(uv)= 1

(2–x) (x–1) (u+v) බව පෙන්වන්න. 07). i). ප්‍රමූලධර්ම ඇසුරෙන් d

dx (sin x)=cos x බව සාධනය කරන්න. d

dx (cos⁡x )=–sin⁡ x බව අපෝහනය කරන්න. නයින් d

dx (cot-1=–cosec2 x බව පෙන්වන්න. d

dx cot-1 x සොයන්න. ඉහත ප්‍රතිඵලය ලබාගැනීමේ දී ඔබ විසින් භාවිතා කරන්නට ලැබුනු සීමා සහ වියුත්පන්න පිලිබදව ප්‍රමේය හෝ සූත්‍ර හෝ කවරේ දැයි සාධන රහිතව ප්‍රකාශ කරන්න. (අ) cot⁡(sin x co-1 x) (ආ) cot-1 (ලඝු cos x),0<x< 𝜋

2 x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. ii). x>a>0 විට y=ලඝු (x+x2–a2 ) නම් d

dx=1

x2–a2 බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් (x2–a2) d2 y

dx2+x dy

dx=0 බව සාධනය කරන්න. (1981) 08. i). 0<θ<𝜋

2 නම් sin⁡ θ<θ<tan⁡ θ ජ්‍යාමිතික ලෙස සාධනය කරන්න. මේ නයින්, ධන අගය ඔස්සේ θ→0 විට sin⁡ θ

𝜃→1 බව පෙන්වන්න. a නියතයක් විට බව d

dx sin⁡ (ax)=a cos⁡ (ax) ප්‍රමූලධර්ම ඇසුරෙන් ලබා ගන්න. y=sin-1 x

b,–𝜋

2<y<𝜋

2,–b <x <b නම් dy

dx සොයන්න. (α) (x2+1)1/2 sin-1 x ද (β) sin2 a

asin-1 x b

,–b<x<b ද x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. ii). x–a>0 විට y={log⁡(x–a)}2 )නම් dy

dx සොයන්න. (x–a)2 d2y

dx2+(x–a) dy

dx=2 බව පෙන්වන්න. (1982) 09. y=sin-1 x නම් (1–x)2 d2y

dx2–x dy

dx=0 බව සාධනය කරන්න. මේ නයින් x = 0 ලක්ෂ්‍යයේ දී n = 2, 3, 4, 5 සදහා d2y

dx2 අගයයන් සොයන්න. (1982) 10. i) .d

dx (tan⁡ x=sec2 x〗 බව ප්‍රමූලධර්ම වලින් සාධනය කර d

dx (tan-1 x)=1

1+x2 බව අපෝහනය කරන්න. (අ) tan-1 (2x

1+x2 ) (ආ) log⁡a

1+tan x 1– tan x

x විෂයයෙන් අවකලනය කර ලැබෙන ප්‍රතිඵල සුලු කරන්න. m නියතයක් හා y=em tan-1 x2 )නම් (1+x4 )dy

dx=2m xy බව පෙන්වන්න. ඒ නයින් (1+x4 ) d2y

dx2 +2x (2x2–m) dy

dx–2my=0 බව පෙන්වන්න (1983) 11. y=sin-1 x+sin-1 x)2 නම් එවිට (1–x2 ) (d2 y)/(dx2 )–x dy

dx, x වලින් ස්වායක්ත බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් n = 2, 3, 4 සදහා x = 0 ලක්ෂයේ දී dny

dx2 හි අගයයන් සොයන්න. (1983) 12. i). f හා g යනු x හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත නම්, d

f(g)=f dg

dx+g df

dx බව සාධනය කරන්න. x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. (අ) ex2 sin⁡ 2x (ආ) x sin-1 (2x–1) ii). (α+βx) ey/x=x නම් x3×d2y

dx2=(x dy

dx–y)2 බව සාධනය කරන්න. මෙහි α හා β නියත වේ. (1984) 13. (අ) 0 <x<𝜋

2 නම් sin⁡x<x<tan⁡ x බව ජ්‍යාමිතික ක්‍රම මගින් සාධනය කරන්න. ඒ නයින් ධන අගයන් හරහා x→0 විට sin x

x=1 බව පෙන්වන්න. limx→0 1– cox 3x

x2 සොයන්න. (ආ) x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. i) cos-1 (1–x2

1+x2 ) ii) x(1+x2)

1–x2 ,x ≠1 (ඉ) yn=sec⁡xtann x නම්, dyn

dx=nyn+(n+1) yn+1 බව පෙන්වන්න. n සදහා සුදුසු අගයක් දෙමින් ∫sec⁡ x tan⁡ x dx සොයන්න (1985) 14. 0 <x<𝜋

2 නම්, sin⁡ x<x<tan⁡ x බව ජ්‍යාමිතික ක්‍රම මගින් සාධනය කරන්න. x ධන අගයන් හරහා ශූන්‍ය කරා එලඹෙන විට sin x

x හි සීමාව අපෝහනය කරන්න. (අ) limx→0 ⁡sin 5x +tan 7x

6x (ආ) limx→0 1+x–cos x

sin x yn=sinn x යැයි ගනිමු. මෙහි n ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි. d2yn

dx2=n (n–1) yn-2 n2yn බව පෙන්වන්න. In=𝜋∫0e-x yn dx යැයි ලියමු. (n>1) In=𝜋∫0e-x d2yn

dx dx බව පෙන්වන්න. ඒ නයින් In=n (n–1)

n2+1 In-2 බව පෙන්වන්න. I4 හි අගය අපෝහනය කරන්න. (1986) 15. i). n ධන නිඛිලයක් වන විට limx→n⁡ xn– an

x–a = nan-1 බව පෙන්වන්න. ඒ නයින් ඕනෑම n(≠0) නිඛිලයක් සදහා d

dx xn=nxn-1 බව පෙන්වන්න. ii). ප්‍රමූලධර්ම වලින් d

dx tan⁡ x=sec2 x බව සාධනය කරන්න. d

dx tan-1 x)සොයන්න. {log⁡|tan-1 x| }2යන්න x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න iii). y=x loga

1+x 1– x

⁡ යයි ගනිමු. (d2y

dx2=1

(1+x)2+ 1

(1–x)2+ 1

1+x+1

1–x බව සාධනය කරන්න. (1987) 16. i). (අ) limx→0 x+sin 3x

x–sin 3x (ආ)limx→𝜋

4 (1–tan x) sec 2x අගයන්න ii). මතු දැක්වෙන දෑ x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. (අ) 1

x+x2–a2 මෙහි a යනු නියතයකි. (ආ) (tan⁡ (2 tan-11

2) (ඉ) 1+sin2(x) iii). y= ex sin⁡ 2x නම්, d2y

dx2+⅄ dy

dx+μy=0 වන අයුරින් ⅄ හා μ නියතයන් සොයන්න. (1988) 17. i). sin x

x හි ව්‍යුත්පන්නය ප්‍රමූලධර්ම වලින් සොයන්න. ii). පහත දැක්වෙන දෑය x හි විෂයයෙන් අවකලනය කර ඔබෙ ප්‍රතිඵලය සරලම ආකාරයෙන් දකවන්න. cos-1 a

a cos x+b b cos+b

; මෙහි a හා b යනු නියත වේ. iii). y යනු x හි ශ්‍රිතයක් වන අතර x=sinθ වේ. dy

d𝜃 , d2y

d𝜃2 ඇසුරෙන් d2y

dx2 ප්‍රකාශ කරන්න (1+x2)2 d2y

dx2+2x (1+x2)dy

dx+y=0 නම්, සාධනය කරන්න. (1989) 18. i). ප්‍රමූලධර්ම වලින් sin x

x හි ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. ii). a හා b නියතව වන tan-1 a–b sin x

b+a sin x විෂයයෙන් අවකලනය කර පිලිතුර සරලම ආකාරයෙන් දක්වන්න. iii). y යනු x හි ශ්‍රිතයක් ද x=sin θ ද වේ.dy

d𝜃 සහ d2y

d𝜃2 මගින් d2y

dx2 ප්‍රකාශ කරන්න. (1–x2)d2y

dx2–xdy

dx+ky = 0 නම්, d2y

d𝜃2+ky =0 බව සාධනය කරන්න. (1990) 19. i). u හා v යනු x හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත නම්, u,v හා ඒවායේ ව්‍යුත්පන්න ඇසුරෙන් d

dx (uv) සදහා සූත්‍රයක් ප්‍රමූලධර්ම වලින් ලබාගන්න. ii). y=u

v නම්, ලඝුගණක ගෙන අවකලනය කිරීමෙන් 1

y dy

dx=1

u du

dx–1

v dv

dx බව පෙන්වන්න. iii) .y=u1u2–un

v1v2 –vn නම්,dy

dx=yn∑r -1 (1

u1 du1

dx–1

v1 dv1

dx ) බව පෙන්වන්න. මෙහි u,v ආදිය x හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත වේ. iv). tan-1(2x

1–x2) යන්න tan-1 x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. (1991) 20. i). f යනු x හි අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක් ද f(x)>0ද නම්, x විෂයයෙන් f(x) හි ව්‍යුත්පන්නය ප්‍රමූලධර්ම වලින් ලබා ගන්න. ii). x විෂයයෙන් tan-1 x හි ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. x=tan θ යැයි ගැනීමෙන් හා x විෂයෙන් tan-1 x හි ව්‍යුත්පන්නය උපයෝගී කර ගනිමින් x විෂයයෙන් , tan-1 (2x

1–x2 ) හා sin-1 (2x

1+x2 ) හි ව්‍යුත්පන්නයෙන් සොයන්න. sin-1 (2x

1+x2 ) විෂයයෙන් tan-1 (2x

1–x2 ) හි ව්‍යුත්පන්නය අපෝහනය කරන්න. iii). y={sin-1 x}2 නම් (1–x2 ) (dy

dx)2=4y බව පෙන්වන්න. (1–x2 ) (d2y

dx2 )–x dy

dx=2 බව අපෝහනය කරන්න. (1992) 21. a) –1<x<1 විට x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. i) tan-1(1

1+x2)–tan-1(1

1+x) හා ii) sin-1 (2x

4+x) b) උත්තර දෙකම සමාන වන්නේ මන්දැයි පහදන්න.ප්‍රමූලධර්ම වලින් x විෂයයෙන් sec x හි ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. –𝜋

2<x 𝜋

2 y=(sec x+tan x)1/2 නම්, i) 2 dy

dx=y sec x ii) 2 d2y

dx2=(sec⁡ x+2 tan⁡ x)dy

dx බව සාධනය කරන්න. 1993) 22. a) x≠0 විට ප්‍රමූලධර්ම මගින් d

dx (cos⁡ 1

x) ලබා ගන්න. b). y=e-x sin⁡(x3) නම්,dy

dx= –2e-x sin⁡(x3 𝜋

3) බව පෙන්වන්න. ඒ නයින් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ ⅄ y ආකාරයෙන් d2y

dx3 ප්‍රකාශ කල හැකි බව පෙන්වන්න. මෙහි ⅄ යනු නිර්ණය කල යුතු නියතයකි. c). x=sin⁡ θ හා y=sin ⁡nθ යැයි ගනිමු. මෙහි n නියතයක් ද 0<θ<𝜋

2 වේ. n හා θ ඇසුරෙන් dy

sx හා d2y

dx2 ලබා දෙන එනයින් (1–x2 )d2y

dx2–x dy

dx+n2 y=0 බව පෙන්වන්න. (1994) 23. i). ව්‍යුත්පන්නයෙහි අර්ථ දැක්වීමෙන් පටන් ගෙන y= –cotx–x ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. ii). y යනු x හි ශ්‍රිතයක් වන අතර ඒවා xdy

dx=3(y2 x6–y+4) යන්නෙන් සම්බන්ධ වී ඇත. a) y=2

x3 tan⁡ (2x3–α)යන්න ඉහත සම්බන්ධය සපුරාලන බව ඍජු ආදේශයෙන් පෙන්වන්න. මෙහි α නියතයකි. එම සම්බන්ධය dy

dx=3x2 (4+v2 ) යන්නට ඌනනය කල හැකි බව පෙන්වන්න. මෙහි v=x3 y වේ. iii). x=2t3+1 හා y=4t4–1 නම්,(dy

dx) (d3y

dx3)+2 (d2y

dx2)2=0 බව පෙන්වන්න. (1995) 24. i) a) limx→5 x–1 –2

x2–25 b) limx→0 sin 2x–x

tan 3x –2x සොයන්න. ii). d

dx sec x=sec x tan x බව මූලධර්ම මගින් සාධනය කර d

dx sec-1 x=1

|x|x2–1 ,|x|>1බව අපෝහනය කරන්න. iii). a). y=sin⁡ (sinx) නම්, (d2y

dx2) +tan⁡ x dy

dx+ycos2 x=0 〗බව පෙන්වන්න. b). k යනු නියතයක් ද θ≠0 ,cos θ≠0 ද විට x=k(cos⁡ θ+θ sin θ),y=k (sin θ–θ cos θ) නම්, θ හි ශ්‍රිත ලෙස dy

dx හා d2y

dx සොයන්න. (1996)25. (අ) limx→5 4+x2 –2

x2 සොයන්න (ආ) සුදුසු ශ්‍රිත අවකලනය කිරීමෙන් 0<x<𝜋

2 සදහා x–x3

6<sinx<x–x3

6+ x3

120 බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් limx→0 x–sin x

x2=1

6 බව පෙන්වන්න. limx→0 x –sun x

x3=1

6 බව අපෝහනය කරන්න. (1997) 26. (අ) ප්‍රමූලධර්ම මගින් d

dx (sin⁡ (3x)=3 cos⁡ (3x) බව සාධනය කරන්න. (ආ) x>0 සදහා y=x+x+x නම් 2y dy

dx=1+ 1

2x+x+ 11

4(xx+x) බව පෙන්වන්න. (1997) 27. (අ) f යනු |R හි එකක් x හිදී (f(x)3–x(f(x))3 x2 f(x)–2x3–7x4+7x5=0 අවශ්‍යතාව තෘප්ති කරන|R මත අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක් යැයි සිතමු. ව්‍යුත්පන්නයෙහි අර්ථ දැක්වීම භාවිතයෙන් f(0)=2 බව පෙන්වන්න. f(1) අගයන්න. (ආ) x>1 සදහා y=(x2–1

x2+1)2 නම්,dy

dx සොයන්න. (ඇ) x2+2xy–y2–tan -1 x–9 නම්, (0,3) ලක්ෂ්‍යයෙහි දී dy

dx සොයන්න. (1998) 28. f(x)= x2–3x+2

x2–7x+12 ලෙස ගනිමු. i) x හි කිසිම තාත්වික අගයක් සදහා –7 – 43 හා –7+43 අතර නොපිහිටන බව පෙන්වන්න. ii) A+B

x–4+C

x–3 ආකාරයෙන් f(x) ප්‍රකාශ කරන්න. මෙහි A, B හා C නියත වේ. ඒ නයින් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ f හි උපරිම හා අවම සොයන්න. iii) f හි තිරස් හා සිරස් ස්පර්ශෝන් මුඛවල සමීකරණ සොයන්න. iv) f හි ප්‍රස්ථාරයෙහි කටු සටහනක් අදින්න. (1998) 29. (අ) tan-1 x+tan-1 y=𝜋

2නම්, x=1 විට dy

dx සොයන්න. (ආ) y=[In (x+1+x2]2 නම්,(1+x2)(dy

dx)2=4y බව පෙන්වන්න (1999). 30. (අ) limx→0 1–cos2(2sinx)

1–cos2x අගයන්න. (ආ) y=eksin-1 x )නම්,dy

dx (1+x2)=ky බව පෙන්වන්න. මෙහි k යනු නියතයකි. x=1

2 විට dy

dx සොයන්න. (2000) 31. (අ) x=t–sin t හා y=1–cos t නම් t≠2nπ,n∈Z සදහා y (d2y

dx2)+2 (dy

dx)(d2y

dx2)=0 බව පෙන්වන්න. (2001) 32. y=e4x sin 3x නම්, d2y

dx2–8 dy

dx+25y=0 බව පෙන්වන්න.(dy

dx)x=0 (d2y

dx2)x=0 සහ (d3y

dx3)x=0 සොයන්න. (2002) 33. y=ecosx නම් , (dy

dx)x=0,(d2y

dx2)x=0(d3y

dx3)x=0 සහ (d4y

dx4)x=0(d5y

dx5)x=0සොයන්න. (2003) 34. y=e-x(cos 2x+sin⁡ 2x) යැයි ගනිමු. dy

dx+y=2e-x (cos 2x–sin⁡ 3x) බව පෙන්වන්න. d2y

dx2+p dy

dx+qy=0 වන අයුරින් p හා q සංඛ්‍යා දෙක නිර්ණය කරන්න. d3y

dx3 සොයන්න. (2005) 35. y=1

2 (sin-1x)2 නම්,(1–x2 d2y

dx2–x dy

dx–1=0) බව පෙන්වන්න. (d2y

dx2)x=0(d3y

dx3)x=0 සහ (d4y

dx4)x=0සොයන්න. (2005) 36. y = (1+4x2 ) tan-1 (2x) ලෙස ගනිමු. a) (1+4x2 ) dy

dx–8xy=2(1+4x2) හා b) (1+4x2)d2y

dx2–8y=16x බව පෙන්වන්න.(d3y

dx3)x=0සොයන්න. (2006) 37. i). ඕනෑම r ධන නිඛිලයක් සදහා dr

dxr=(x+r)e x බව පෙන්වන්න. ii). y=x2 e2 නම්dy

dx= 2xex +y බව සාධනය කරන්න. dr

dxr–dr-1y

dxr-1=2(x+r–1) ex බව අපෝහනය කරන්න.ඒ නයින්,ඕනෑම n ධන නිඛිලයක් සදහා dny

dxn=n (2x+n–1) ex+y බව පෙන්වන්න. (2007) 38. a). ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් f(x)=tanx ශ්‍රිතයෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. b). y යනු u හි අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක් හා –𝜋

2<x<𝜋

2 විට u = In (cos x) නම්, sin3 x d2y

dx2=sin⁡ x cos2 x d2y

dx2–cos⁡x dy

dx බව පෙන්වන්න. (2008) 39. a) ප්‍රමූලධර්ම භාවිතයෙන් f(x) = sin x ශ්‍රිතයෙහි x විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න. g(x) =cos x හි ව්‍යුත්පන්නය අපෝහනය කරන්න. i). sin⁡(In(1+x2) ii).cos x (sin x) x විෂයයෙන් අවකලනය කරන්න. b). y = sin kθcosec θ, x=cosθයැයි ගනිමු. මෙහි k නියතයකි. i). (1–x2 ) dy

dx–xy+kcoskθ=0 ii). (1–x2 ) d2y

dx2–3x dy

dx (k2–1) y=0 බව සාධනය කරන්න. (2009) 40. a) limx→0 1–cosx+x sin 3x

x2 අගයන්න. b). i). y=tan-1 (1+x2 –1

x)හා z= tan-1 x යැයි ගනිමු. dy

dx සොයන්න. ii). y= em sun -1 x යැයි ගනිමු. මෙහි m යනු නියතයකි. (1–x2 ) d2y

dx2–x dy

dx–m2 y=0 බව පෙන්වන්න. x = 0 හිදී d2y

dx2 හි අගය සොයන්න. (2010) 41. limx→0 4+3 sin x–4–3 sin x

2x =3

4 බව පෙන්වන්න (2011). 42. limx→0 x sinx

2sin23x–x2 cosx =1

17 බව පෙන්වන්න. 43. limx→0 1–cosx

1+x2–1–x2=1

2 බව පෙන්වන්න. (2013) 44. limx→0 tan2 2x

x{1–1=x}=–8 බව පෙන්වන්න. (2014) 45. n∈Z+ සදහා limy→0 yn–an

y–a = nan-1 ප්‍රතිඵලය භාවිතයෙන් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ limx→0 ( x+2)4–4

sin 4x=22 බව පෙන්වන්න. (2015) 46. x≠0 සදහා y=x sin 1

x යැයි ගනිමු. x dy

dx=y–cos 1

x හා x^4 (d^2 y)/(dx^2 )+y=0 බව පෙන්වන්න. (2015) 47. තාත්වික θ පරාමිතියක් ඇසුරෙන් xy තලයේ C වක්‍රයත් x=2+cos2θ,y=4sinθ යන සමීකරණය මගින් දෙනු ලැබේ. dy

dx ව්‍යුත්පන්නය θ ඇසුරෙන් සොයා ,θ=π

4 වන ලක්ෂ්‍යයෙහි දී C වක්‍රයට අභිලම්භයේ සමීකරණය x–2y+2=0 බව පෙන්වන්න. (2015) 48. a>0 යයි ගනිමු. limx→0 1–cos(ax)

4+x2–4–x2=16 වන පරිදි වූ α හි අගය සොයන්න. (2016) 49. 0<α<π

2 යැයි ගනිමු. limx→0x3–a3

tan x–tan a=3a2 cos 2බව පෙන්වන්න. ( 2017)