ගණිතය

ශේෂ ප්‍රමේයය සහ සාධක ප්‍රමේයය

Past Papers(1) 1978 A/L
(i)x හි බහුපදයක් වන P(x) යන්න (x–a) යන්නෙන් බෙදු විට R ශේෂයක් ලැබෙයි. R=P(a) බව පෙන්නන්න. a≠ b නම්, (x–a)(x–b) යන්නෙන් P(x) බෙදු විට P(a)
(a–b)(x–b)–P(b)
(a–b)(x–b) ශේෂයක් ලැබෙන බව ඒ නයින් හෝ අන් අයුරකින් පෙන්වන්න.
(ii)a3(b–c)+b3(c–a)+c3(a–b) යන්නෙහි a,b,c රාශිවලින් පළමු වැනි මාත්‍රයේ වු සාධක හතර සොයන්න
3 ශ්‍රේණි අභ්‍යාස ශ්‍රේණි අභ්‍යාස 01) අ) n ඕනෑම ධන නිඛිලයක් සඳහා u0=1.n+2.(n–1)+⋯+(n–1).2+n.1 යයි ගනිමු. ගණිත අභ්‍යුහනය මූලධර්මය මඟින් un=1
6 n(n+1)(n+2) බව සාධනය කරන්න. n ඕනෑම ධන නිඛිලයක් සඳහා 1
un =vn–vn+1 වන අයුරින් vn සොයන්න. ඒ නයින් හෝ අන් අයුරකින් හෝ n∑ 1
ur=3
2–1
(n+1)(n+2) බව පෙන්වන්න. ∞∑r=11
Un හි අගය අපෝහනය කරන්න. (2000) 02) 1
1+12+14+2
1+22+42+1
1+32+34+⋯ ශ්‍රේණියේ r වන පදය Ur ලියන්න. i). Ur 1
2 [f(r)–1
1+r+r3] බව පෙන්වන්න. මෙහි f(r) යනු r හි නිර්ණය කළ යුතු ශ්‍රිතයක් වෙයි. ii). f(r+1) සොයා ur1
2 [f(r)–f(r+1)] බව සාධනය කරන්න. iii). දෙන ලද ශ්‍රේණියෙහි පද n දක්වා ඓක්‍ය n(n+1)
2(1+n+n2) බව පෙන්වන්න. (2006) 03) අපරිමිත ශ්‍රේණියක r වන පදය Ur යන්න(2r+1)
(3r–2)(3r+1) මඟින් දෙනු ලැබේ. Ur=f(r–1)–f(r) වන පරිදි f(r) සොයන්න. ඒ නයින් n∑r=1Ur=Sn සොයා limn→∞ ⁡Sn හි අගය සොයන්න. (2009) 04) ඕනෑම n ධන නිඛිලයක් සඳහා ගණිත අභ්‍යුහනය මූලධර්මය මඟින් බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් r=1,2,… සඳහා ur–ur-1=4r3–6r2+ 4r–1 වන ආකාරයට ur ලියා දක්වන්න. n∑r=1r3=(n(n+1)
2)2 බව අපෝහනය කරන්න. [ඔබට n∑r=1r2=n(n+1)(2n+1)
6 බව උපකල්පනය කළ හැකිය.] 12+(12+22)+(12+22+32)(12+22+32+42)+⋯ ශ්‍රේණියේ r වන පදය vr ලියා දක්වන්න. n∑r=1vr= n(n+1)2(n+2)
12 බව පෙන්වන්න. මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. 3
12+5
12+22+7
12+22+32+9
12+22+32+42+⋯ ශ්‍රේණියේ r වන පදය wr යැයි ගනිමු. wr=f(r)–f(r+1) වන ආකාරයට f(r) සොයන්න. ඒ නයින්, Sn=n∑r=1wrසොයන්න. මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. (2010) 05) r ϵ Z+ සඳහා ur 1
(2r–1)(2r+1)(2r+3) යැයි ගනිමු. r ඇසුරෙන්ur+1
u1 සොයන්න. ඒ නයින්, r=1,2,3,… සඳහා (2r–1) ur–(2r+1) ur+1=4ur+1 බව පෙන්වන්න. n∑r=1Ur=1
12 1
4(2n–1)(2n+3) බව අපෝහනය කරන්න. ∞∑r=1Ur ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. (2011) 06) සියලු x ϵ R සඳහා 12x2+1≡A(2x–1)3+B(2x+1)3 වන පරිදි A හා B නියත සොයන්න. ඒ නයින්, r ϵ Z+ සඳහා ur=f(r)–f(r+1) වන පරිදි f(r) නිර්ණය කරන්න. මෙහි ur=12r3+1
(2r–1)2(2r+1)3 වෙයි. n∑r=1Ur=1
12+1
2(2n+1)3 බව පෙන්වන්න. n∑r=1Ur ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව පෙන්වා n∑r=1Ur හි අගය සොයන්න. (2012) 07) සියලු n ϵ Z+ සඳහා අපරිමිත ශ්‍රේණියක පළමු පද n හි එකතුව 6–2nn+1
3n-1 මඟින් දෙනු ලැබේ.මෙම ශ්‍රේණියෙහි n වෙනි පදය සොයා ශ්‍රේණිය අභිසාරී ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් බව පෙන්වන්න. (2013) 08) r ϵ Z+ සඳහා Ur=3(6r+1)
(3r–1)2(3r+2)2 හා n ϵ Z+ සඳහා Sn=n∑r=1Ur යැයි ගනිමු. r ϵ Z+ සඳහා Ur=A
(3r–1)2+A
(3r+1)2 වන පරිදි A හා B නියතවල අගයන් සොයන්න. ඒනයින් n ϵ Z+ සඳහා Sn=1
4–1
(3n+2)2 බව පෙන්වන්න. ∞∑r=1Ur අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබගේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. |Sn–1
4|<10-6 වන පරිදි වූ n ϵ Z+ හි කුඩාතම අගය සොයන්න. (2013) 09) r ϵ Z+ සඳහා Ur=r2–r–5
r(r+1)(r+4)(r+5) යැයි ගනිමු. n=0,1,2,3 සඳහා rn හි සංගුණකය සැසඳීමෙන්, r ϵ Z+ සඳහා r2–r–5=A(r2–1) (r+5)–Br3 (r+4) වන පරිදි A හා B නියත පවතින බව පෙන්වන්න. r ϵ Z+ සඳහා n∑r=1Ur =n
(n+1)(n+5) බව පෙන්වන්න. ∑_(r=1)^∞▒U_r අනන්ත ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන බව තවදුරටත් පෙන්වා, එහි ඓක්‍යය සොයන්න. ඒ නයින් ∑_(r=3)^∞▒〖3U〗_r සොයන්න. (2014) 10) r ϵ Z+ සඳහා A(r+5)2–B(r+1)2=r+C වන පරිදි, A,B හා C නියතවල අගයන් සොයන්න. ඒනයින්, අපරිමිත ශ්‍රේණියක r වන පදය Ur=8
(r+1)2(r+3)(r+5)2 යන්න f(r)–f(r+2) ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැකි බව පෙන්වන්න. මෙහි f(r) යනු නිර්ණය කළ යුතු ශ්‍රිතයක් වේ. n∑r=1Ur ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය සොයා, ∞∑r=1Ur ශ්‍රේණිය 1
82+1
152 ඓක්‍යයට අභිසාරී වන බව අපෝහනය කරන්න. (2015) 11) r ϵ Z+ සඳහා Ur=10r+9
(2r–3)(2r–1)(2r+1) හා f(r)=r(Ar+B) යැයි ගනිමු. මෙහි A හා B තාත්ත්වික නියත වේ. r ϵ Z+ සඳහා Ur=f(r)
(2r–3)(2r–1)–f(r+1)
(2r–1)(2r+1) වන පරිදි A හා B නියතවල අගයන් සොයන්න. n ϵ Z+ සඳහා n∑r=1Ur =–3–(n+1)(2n+3)
(4n2–1) බව පෙන්වන්න. ∞∑r=1Ur අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව තවදුරටත් පෙන්වා එහි ඓක්‍යය සොයන්න. (2016) 12) a) x හි ආරෝහණ බල වලින් (5+2x)14 හි ද්විපද ප්‍රසාරණය ලියා දක්වන්න. r=0,1,2,… ,14 සඳහා ඉහත ප්‍රසාරණයේ xr අඩංගු පදය Tr යැයි ගනිමු. x≠0 සඳහා Tr+1
Tr=2(14–r)
5(r+1)X බව පෙන්වන්න. ඒ නයින්, x=4
3 වන විට, ඉහත ප්‍රසාරණයෙහි විශාලතම පදය ලබාදෙන r හි අගය සොයන්න. b) c≥0 යැයි ගනිමු. r ϵ Z+ සඳහා 2
(R+C)(RC+2)=1
(R+C)–1
(RC+2) බව පෙන්වන්න. ඒනයින්, n ϵ Z+ සඳහා n∑r=12
(r+c)(r+c+2)=(3+2c)
(1+c)(2+c)–1
(n+c+1)–1
(n+c+2) බව පෙන්වන්න. ∞∑r=1 2
(r+c)(r+c+2) අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව අපෝහනය කර එහි ඓක්‍යය සොයන්න. c සඳහා සුදුසු අගයන් සහිත ව මෙම ඓක්‍යය භාවිතයෙන් ∞∑r=11
r(r+2)=1
3+∞∑r=1 1
(r+1)(r+3) බව පෙන්වන්න. (2017)

Niroshan

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *