Notice: Function _load_textdomain_just_in_time was called incorrectly. Translation loading for the rank-math domain was triggered too early. This is usually an indicator for some code in the plugin or theme running too early. Translations should be loaded at the init action or later. Please see Debugging in WordPress for more information. (This message was added in version 6.7.0.) in /home/respxpxr/ganithaya.com/wp-includes/functions.php on line 6121
ශේෂ ප්‍රමේයය සහ සාධක ප්‍රමේයය - ගණිතය

ගණිතය

ශේෂ ප්‍රමේයය සහ සාධක ප්‍රමේයය

Past Papers(1) 1978 A/L
(i)x හි බහුපදයක් වන P(x) යන්න (x–a) යන්නෙන් බෙදු විට R ශේෂයක් ලැබෙයි. R=P(a) බව පෙන්නන්න. a≠ b නම්, (x–a)(x–b) යන්නෙන් P(x) බෙදු විට P(a)
(a–b)(x–b)–P(b)
(a–b)(x–b) ශේෂයක් ලැබෙන බව ඒ නයින් හෝ අන් අයුරකින් පෙන්වන්න.
(ii)a3(b–c)+b3(c–a)+c3(a–b) යන්නෙහි a,b,c රාශිවලින් පළමු වැනි මාත්‍රයේ වු සාධක හතර සොයන්න
3 ශ්‍රේණි අභ්‍යාස ශ්‍රේණි අභ්‍යාස 01) අ) n ඕනෑම ධන නිඛිලයක් සඳහා u0=1.n+2.(n–1)+⋯+(n–1).2+n.1 යයි ගනිමු. ගණිත අභ්‍යුහනය මූලධර්මය මඟින් un=1
6 n(n+1)(n+2) බව සාධනය කරන්න. n ඕනෑම ධන නිඛිලයක් සඳහා 1
un =vn–vn+1 වන අයුරින් vn සොයන්න. ඒ නයින් හෝ අන් අයුරකින් හෝ n∑ 1
ur=3
2–1
(n+1)(n+2) බව පෙන්වන්න. ∞∑r=11
Un හි අගය අපෝහනය කරන්න. (2000) 02) 1
1+12+14+2
1+22+42+1
1+32+34+⋯ ශ්‍රේණියේ r වන පදය Ur ලියන්න. i). Ur 1
2 [f(r)–1
1+r+r3] බව පෙන්වන්න. මෙහි f(r) යනු r හි නිර්ණය කළ යුතු ශ්‍රිතයක් වෙයි. ii). f(r+1) සොයා ur1
2 [f(r)–f(r+1)] බව සාධනය කරන්න. iii). දෙන ලද ශ්‍රේණියෙහි පද n දක්වා ඓක්‍ය n(n+1)
2(1+n+n2) බව පෙන්වන්න. (2006) 03) අපරිමිත ශ්‍රේණියක r වන පදය Ur යන්න(2r+1)
(3r–2)(3r+1) මඟින් දෙනු ලැබේ. Ur=f(r–1)–f(r) වන පරිදි f(r) සොයන්න. ඒ නයින් n∑r=1Ur=Sn සොයා limn→∞ ⁡Sn හි අගය සොයන්න. (2009) 04) ඕනෑම n ධන නිඛිලයක් සඳහා ගණිත අභ්‍යුහනය මූලධර්මය මඟින් බව සාධනය කරන්න. ඒ නයින් r=1,2,… සඳහා ur–ur-1=4r3–6r2+ 4r–1 වන ආකාරයට ur ලියා දක්වන්න. n∑r=1r3=(n(n+1)
2)2 බව අපෝහනය කරන්න. [ඔබට n∑r=1r2=n(n+1)(2n+1)
6 බව උපකල්පනය කළ හැකිය.] 12+(12+22)+(12+22+32)(12+22+32+42)+⋯ ශ්‍රේණියේ r වන පදය vr ලියා දක්වන්න. n∑r=1vr= n(n+1)2(n+2)
12 බව පෙන්වන්න. මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. 3
12+5
12+22+7
12+22+32+9
12+22+32+42+⋯ ශ්‍රේණියේ r වන පදය wr යැයි ගනිමු. wr=f(r)–f(r+1) වන ආකාරයට f(r) සොයන්න. ඒ නයින්, Sn=n∑r=1wrසොයන්න. මෙම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. (2010) 05) r ϵ Z+ සඳහා ur 1
(2r–1)(2r+1)(2r+3) යැයි ගනිමු. r ඇසුරෙන්ur+1
u1 සොයන්න. ඒ නයින්, r=1,2,3,… සඳහා (2r–1) ur–(2r+1) ur+1=4ur+1 බව පෙන්වන්න. n∑r=1Ur=1
12 1
4(2n–1)(2n+3) බව අපෝහනය කරන්න. ∞∑r=1Ur ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. (2011) 06) සියලු x ϵ R සඳහා 12x2+1≡A(2x–1)3+B(2x+1)3 වන පරිදි A හා B නියත සොයන්න. ඒ නයින්, r ϵ Z+ සඳහා ur=f(r)–f(r+1) වන පරිදි f(r) නිර්ණය කරන්න. මෙහි ur=12r3+1
(2r–1)2(2r+1)3 වෙයි. n∑r=1Ur=1
12+1
2(2n+1)3 බව පෙන්වන්න. n∑r=1Ur ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව පෙන්වා n∑r=1Ur හි අගය සොයන්න. (2012) 07) සියලු n ϵ Z+ සඳහා අපරිමිත ශ්‍රේණියක පළමු පද n හි එකතුව 6–2nn+1
3n-1 මඟින් දෙනු ලැබේ.මෙම ශ්‍රේණියෙහි n වෙනි පදය සොයා ශ්‍රේණිය අභිසාරී ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් බව පෙන්වන්න. (2013) 08) r ϵ Z+ සඳහා Ur=3(6r+1)
(3r–1)2(3r+2)2 හා n ϵ Z+ සඳහා Sn=n∑r=1Ur යැයි ගනිමු. r ϵ Z+ සඳහා Ur=A
(3r–1)2+A
(3r+1)2 වන පරිදි A හා B නියතවල අගයන් සොයන්න. ඒනයින් n ϵ Z+ සඳහා Sn=1
4–1
(3n+2)2 බව පෙන්වන්න. ∞∑r=1Ur අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ ද? ඔබගේ පිළිතුර සනාථ කරන්න. |Sn–1
4|<10-6 වන පරිදි වූ n ϵ Z+ හි කුඩාතම අගය සොයන්න. (2013) 09) r ϵ Z+ සඳහා Ur=r2–r–5
r(r+1)(r+4)(r+5) යැයි ගනිමු. n=0,1,2,3 සඳහා rn හි සංගුණකය සැසඳීමෙන්, r ϵ Z+ සඳහා r2–r–5=A(r2–1) (r+5)–Br3 (r+4) වන පරිදි A හා B නියත පවතින බව පෙන්වන්න. r ϵ Z+ සඳහා n∑r=1Ur =n
(n+1)(n+5) බව පෙන්වන්න. ∑_(r=1)^∞▒U_r අනන්ත ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන බව තවදුරටත් පෙන්වා, එහි ඓක්‍යය සොයන්න. ඒ නයින් ∑_(r=3)^∞▒〖3U〗_r සොයන්න. (2014) 10) r ϵ Z+ සඳහා A(r+5)2–B(r+1)2=r+C වන පරිදි, A,B හා C නියතවල අගයන් සොයන්න. ඒනයින්, අපරිමිත ශ්‍රේණියක r වන පදය Ur=8
(r+1)2(r+3)(r+5)2 යන්න f(r)–f(r+2) ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැකි බව පෙන්වන්න. මෙහි f(r) යනු නිර්ණය කළ යුතු ශ්‍රිතයක් වේ. n∑r=1Ur ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය සොයා, ∞∑r=1Ur ශ්‍රේණිය 1
82+1
152 ඓක්‍යයට අභිසාරී වන බව අපෝහනය කරන්න. (2015) 11) r ϵ Z+ සඳහා Ur=10r+9
(2r–3)(2r–1)(2r+1) හා f(r)=r(Ar+B) යැයි ගනිමු. මෙහි A හා B තාත්ත්වික නියත වේ. r ϵ Z+ සඳහා Ur=f(r)
(2r–3)(2r–1)–f(r+1)
(2r–1)(2r+1) වන පරිදි A හා B නියතවල අගයන් සොයන්න. n ϵ Z+ සඳහා n∑r=1Ur =–3–(n+1)(2n+3)
(4n2–1) බව පෙන්වන්න. ∞∑r=1Ur අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව තවදුරටත් පෙන්වා එහි ඓක්‍යය සොයන්න. (2016) 12) a) x හි ආරෝහණ බල වලින් (5+2x)14 හි ද්විපද ප්‍රසාරණය ලියා දක්වන්න. r=0,1,2,… ,14 සඳහා ඉහත ප්‍රසාරණයේ xr අඩංගු පදය Tr යැයි ගනිමු. x≠0 සඳහා Tr+1
Tr=2(14–r)
5(r+1)X බව පෙන්වන්න. ඒ නයින්, x=4
3 වන විට, ඉහත ප්‍රසාරණයෙහි විශාලතම පදය ලබාදෙන r හි අගය සොයන්න. b) c≥0 යැයි ගනිමු. r ϵ Z+ සඳහා 2
(R+C)(RC+2)=1
(R+C)–1
(RC+2) බව පෙන්වන්න. ඒනයින්, n ϵ Z+ සඳහා n∑r=12
(r+c)(r+c+2)=(3+2c)
(1+c)(2+c)–1
(n+c+1)–1
(n+c+2) බව පෙන්වන්න. ∞∑r=1 2
(r+c)(r+c+2) අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව අපෝහනය කර එහි ඓක්‍යය සොයන්න. c සඳහා සුදුසු අගයන් සහිත ව මෙම ඓක්‍යය භාවිතයෙන් ∞∑r=11
r(r+2)=1
3+∞∑r=1 1
(r+1)(r+3) බව පෙන්වන්න. (2017)

Niroshan

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *