O යනු අචල ලක්ෂ්‍යයකි.

ත්වරණය හැම විටම O ලක්ෂ්‍යය දෙසට පවතී.
ත්වරණයේ විශාලත්වය x දුරට සමානුපාතික වේ.

මෙවැනි චලිතයක් සරල අනුවර්තී චලිතයක් ලෙස හැදින්වේ

ඉහත අනුකල සමීකරණ විසදීමෙන් පහත ප්‍රතිපල ලබා ගත හැක

aසරල අනුවර්තීය චලිතය

01	ස්වාභාවික දිග l හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය ƛ ලුහු සර්පිල දුන්න ක A හා B දෙකෙලවරට පිළිවෙලින් ස්කන්ධය m1 හා m2 අංශු දෙකක් යොදා ඇත A අචලව තබාගත් විට B ,t2 කාලාවර්තයකින් දෝලනය වේ.
	B අචලව තබාගත් විට t1=t2 m1 m2 යන්නෙන් ලැබෙන t2 එක කාලාවර්තය කින් A දෝලනය වෙන බව පෙන්වන්න අංශ දෙකටම චලනය වීමට නිදහස ඇති විට දුන්නෙ දෝලන කාලාවර්තය ද සොයන්න.
	(1976)

02	සරල රේඛාවක වූ O අචල ලක්ෂයකට යොමු වූ ද විශාලත්වය mω2(OP)වූද බලයක ක්‍රියාව යටතේ m ස්කන්ධයෙන් යුත් P අංශුවක් එම රේඛාව ඔස්සේ චලනය වෙයි. මෙහි යනු නියතයකි. A ලක්ෂ්‍යයේදී අංශුව නිශ්චලතාවයේ සිට ගමන් අරඹන අතර O සිට x දුරකින් වන විට වෙනවිට අංශුවේ වේගය V නම් v2=ω2 (a2–x2)බව පෙන්වන්න
	මෙහි a = OA ස්වාභාවික දිග 6a වන ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක් සුමට තිරස් මේසයක් මත 9a පරතරයකින් පිහිටි A,B ලක්ෂ්‍යය දෙකක් අතර ඇඳ තබා තන්තුවේ A ට නුදුරු ත්‍රිච්ඡේදන ලක්ෂ්‍යයට m ස්කන්ධයෙන් යුත් අංශුවක් ගැට ගසනු ලැබේ .AB මත A සිට a දුරින් පිහිටි p ලක්ෂ්‍යය ට අංශුව විස්ථාපනය කර නිශ්චලතාවයේ මුදනු ලැබේ.AB මත A සිට (9+30)a 3 දුරකින් පිහිටි ලක්ෂ්‍යයකට අංශුව ලගා වූ විට අංශුව ක්ෂණික නිශ්චලතාවය ට එළඹෙන බව පෙන්වන්න.
	(1977)

03	ස්වාභාවික දිග a ද මාපාංකය mg ද ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් තිරස් සුමට මේසයක O ලක්ෂ්‍යයකදී අචල ලෙස සවිකර ඇත. එහි අනෙක් කෙලවරට ස්කන්ධය m අංශුවක් ඈදෙනු ලැබේ. ආරම්භයේ දී අංශුව මේසය මත O සිට a+b දුරකින් නිශ්චලතාවයේ තබනු ලැබේ අංශුව මුදා හැරියොත්(π 2+a b ) √(a/g) කාලයකට පසු එය o කරා එළඹෙන බව පෙන්වන්න
	මේ අංශුව o හරහා යන විට එය O හි දී නිශ්චලතාවයේ හි පිහිටි 2m ස්කන්ධයක ඇති අංශුවක් සමඟ හාවේ සංයුක්ත අංශුවට o කරා ආපසු ඒමට කොපමණ කාලයක් ගත වේ දැයි සොයන්න.
	(1980)

04	O, A , B, C, අචල ලක්ෂ්‍ය හතරක් සරල රේඛාවක් මත පිහිටයි.OA = AB = BC = a වේ.P අංශුවක් මේ සරල රේඛාව ඔස්සේ චලනය වන්නේ එහි ත්වරණය,P අංශුව OA ඛණ්ඩයහි පිහිටි විට x= ω2x ̈මගින්ද P අංශුව AB ඛණ්ඩයේ හි පිහිටි විට ( x=0) ̈ මගින් ද P අංශුව BC ඛණ්ඩයෙහි පිහිට විට x ̈ = –ω2මගින්ද දැක්වෙන පරිදි.
	මෙහි x=PO වේ.ω යනු නියතයකි.අංශුව O සිට 3aw ප්‍රවේගයකින් වූ OABC දිශාව ඔස්සේ ප්‍රක්ශේපණය කරනු ලැබේ. C හිදී එහි ප්‍රවේගය ශුන්‍ය වෙන බව පෙන්වන්න. O ලක්ෂ්‍යයට ආපසු පැමිණීමට අංශුව ගන්නා මුළු කාලය සොයන්න.
	(1981)

05	ගල් අඟුරු පතලක ඇති ඔසොව්වක් 2h ගැඹුරැති AB සිරස් දිශාවක් ඔස්සේ පහළට චලනය වෙයි. A පිහිටා ඇත්තේ පෘථිවි පෘෂ්ඨය මත ය.B පිහිටා ඇත්තේ ගල් අඟුරු පතුලේ අඩියේය..ω නියතයක් ද x යනු AB හි මධ්‍ය ලක්ෂය වන O සිට සොරොව් බිමට ඇති දුර ද වූ විට ඔසොව්ව O දෙසට යොමුව ω2x ත්වරණයකින් චලනය වෙයි. ඔසොව්වේ බිම Aහි දීත් B හිදීත් නිශ්චලතාවයට පැමිණේ A සිට B තෙක් චලනය වීමට ඔව්වට ගතවෙන කාලය ප්‍රමූලධර්ම ඇසුරෙන් සොයාන්න
	m ස්කන්ධයෙන යුත් පතල් කරුවෙක් ඔසොව්ව තුල සිට ගෙන සිටියි. ඔහුගේ පාගමන බිමෙහි ප්‍රතික්‍රියාවේ වැඩිතම හා අඩුතම අගය සොයන්න ω<g h බව අපෝහනය කරන්න. 1 ω නම් පතල්රු ගමන ආරම්භයේ දී 123 ගොස් 1/ω cos⁡g/hω2 කාලයක් තුළ ඔසොව්වෙහි එහි ඇති ආරක්ෂක අල්ලු වළලු අල්ලාගෙන සිටිය යුතු බව පෙන්වන්න .

06	ස්වාභාවික දිග a වූද ප්‍රත්‍යාස්ථ මාපාංකය mg වූද ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථතා තන්තුවක කෙළවරවල් රළු තිරස් මේසයක් මත නිශ්චිතතාවයහි පවත්වා M ස්කන්ධයෙන් යුත් A භාරයකටද m ස්කන්ධයෙන් යුත් B අංශුවකටද ඈදා තිබේ. මේසයත් A භාරයත් අතර ඝර්ෂණ සංගුණකය µ ය.මේසයත් අංශුවක් ඝර්ෂණ සංගුණකයµ ද ආරම්භයේ දී B අංශුව A සිට a දුරක පිහිටි L ලක්ෂ්‍යවක දී අල්ලා තබා ගනු ලැබේ.
	ඉක්බිති එය Al දිසාව ඔස්සේ8µ2ag ට ප්‍රවේගයකින් මේසය දිගේ ප්‍රාක්ෂේපනය කරනු ලැබේ.A හරහා මේසය මත නිශ්චලතාවයේ පවතින්නේ යැයි උපකල්පනය කර තන්තුවේ උපරිම විතතිය සොයා M≥2m බව පෙන්නන්න.අවසානයේ දී B අංශුව[π+cos–1(1/3)]g/h කාලයකට පසුව එහි ආරම්භක l ලක්ෂ්‍යයේදී නිත්‍ය වශයෙන් නිශ්චලතාවය ට පත්වන බවද පෙන්වන්න.

07	ස්කන්ධය m වූ වීදුරු බෝලයක් ස්වාභාවික දිග l වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවකින් අචල A ලක්ෂයකට ගැටගසා ඇත. අංශුව A ලක්ෂ්‍යයෙහි නිශ්චලතාවයේ සිට මුදා හරිනු ලැබ කක්ෂණික නිශ්චලතාවයට එළඹීමට පෙර 2l දුරක් වැටේ.
	ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 4mg බවත් වීදුරු බෝලයl g [2 2+π–cos–1(t)කාලයකට පසු A වෙත ආපසු පැමිණෙන බවත් පෙන්නන්න.

08	අංශුවක් විස්තාරය 1m කාලාවර්තය 8s වූද සරල අනුවර්තිය චලිතයෙන් සරල රේඛාවක් දිගේ චලනය වෙයි අංශුවේ උපරිම වේගය ms-1 වලින් උපරිම ත්වරණය ms-2 වලින්ද සොයන්න
	.තවද කේන්ද්‍රික පිහිටුමේ සිට 1/2m දුරකදී අංශුවේ වේගය ms-1 වලින් ද් සොයන්න .අංශුවේ වේගය එහි උපරිම වේගයෙන් අඩක් වන මොහොත් දෙකක් අතර කුඩාම කාල අන්තරය4 3 sබව පෙන්නන්න

09	m ස්කන්ධයෙන් යුත් p අංශුවක් ස්වාභාවික දිග l වූ ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක් මගින් O අචල ලක්ෂ්‍යයෙන් එල්ලා තිබේ ආරම්භයේ දී P අංශුව O හිදී නිශ්චලතාවයේ සිට වැටෙයි.ඉන් ඇතිවෙන චලිතයේදී O ට පහලින් P අංශුවේ වැඩිතම ගැඹුර 3l නම් තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 3 2 mgබව පෙන්වන්න.
	2l/g [1+2π/33]කාලයකදී වැඩිතම මම ගැඹුර සහිත ලක්ෂ්‍ය වෙත ළඟා වන බව සාධනය කරන්න

10	ස්වාභාවික දිග a දේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය mg ද වන සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යාස්ථ ත්න්තුවක එක් කෙලවරක් m ස්කන්ධයෙන් යුතූ අංශුවකට ඈදා තිබෙයි. තන්තුවේ අනෙක් කෙළවරට O නම් අචල ලක්ෂ්‍යයට සවිකොට ඇත. O සිට පහළටa/2 දුරක පිහිටි p ලක්ෂ්‍යයේදී අංශුව නිශ්චලතාවයේ මුදාහරිනු ලැබේ
	.l g (2+ 3π 2කාලයකට පසු අන්ශුව p ලක්ෂ්‍යය වෙතට නැවත පැමිණෙන බව ඔප්පු කරන්න.අංශු ව ලබාගත් වැඩිම වේගය සොයන්න

11	නොඇදි දිග l සහ ප්‍රත්‍යස්ථතා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය W වන සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක් මගින් බර w වන p අංශුවක් o අචල ලක්ෂයකින් එල්ලා ඇත. විස්තාරය 2a වන සිරස් දෝලන p විසින් සාදනු ලබයි නම් t කාලයේදී o සිට ඇති දුර 2(l+a sin tl/g බව පෙන්වන්න.
	මෙහි කාලය මැන ඇත්තේ p ස්වකීය සමතුලිත පිහිටුමේ ඇති මොහොතේ මේ ඇති මොහොතේ සිට වේ . ස්වකීය සමතුලිත පිහිටුමේ සිට අංශුව ඉහළ නගින විට එය සමාන බරින් යුත් වෙන අංශුවක් අහුලාගනී නම් දෝලයනයේ විස්තාරය l2+2a2 බව පෙන්වන්න.

12	ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක් මගෙන් ගුරුත්වය යටතේ අචල ලක්ෂ්‍යයකින් අංශුවක් එල්ලා තිබේ අංශුව සමතුලිතව එල්ලෙමින් පවතින විට තන්තුව එහි ස්වාභාවික දිගේ සිට C දුරකට ඇදී පවතී .සමතුලිත පිහිටීම වටා කුඩා සිරස් දෝලනවල කාලාවර්තය 2π(c/g)1/2 බව පෙන්වන්න.
	දැන් සමතුලිත පිහිටුමේ සිට ඊට පහළින් 3c දුරකට යන තෙක් අංශුව පහළට ඇද ඉන්පසු නිශ්චලතාවයේ සිට මුදාහරිනු ලැබේ අංශුව[ π–cos–1(1/3)=22] (c/g)1/2ඉහල නගින බව ඔප්පු කරන්න

13	ස්වාභාවික දිග a + b ද මාපාංකය ƛ වන AB ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක දෙකෙලව සුමට තිරස් මේසයක් මත a + b දුරක පරතරයක් ඇතිව සවිකර තිබේ m ස්කන්ධයෙන් යුතු අංශුවක් p ලක්ෂ්‍යයේ දී තන්තුවට ඈදා ඇත්තේ අංශුව සමතුලිතතාවයේ පවතින විට AP=a,PB=b වන පරිදිනි.
	අංශුව AQ= a+c වන පරිදි ඇති Q ලක්ෂයේදී නිශ්චලතාවයේ සිට මුදාහරිනු ලැබේ. එහි 0< c< b එය πm ƛ (a +b) මුළු කාලයකට පසු 2c/a(a+b) මුළු දුරක් ගමන් කර Q ලක්ෂ්‍යයට ආපසු පැමිණෙන බව පෙන්වන්න

14

P ලක්ෂ්‍යයක් oxy තලයේ චලනය වන්නේ කෙසේද යත් t කාලයකදී එහි පිහිටුම දෛශිකය op=(acosωt)i+(asinωt) වන පරිදි ය මෙහි a,w යනි පිලිවෙලින් ox,oy අක්ෂ ඔස්සේ වූ ඒකක දෛශික ද වෙයි .p ගේ පෙත වෘත්තයක් බව පෙන්වන්න.p ගේ ප්‍රවේගයත් ත්වරණයත් විශාලත්වය හා දිශාව හොයන්න.තවද N යනු p සිට ox අක්ෂයට ඇඳි ලම්භයේ අඩිය නම්, N සරල අනුවර්තීය යෙදෙන බවත් එහි ආරම්භක පිහිටුමේ (t=0)සිට P^ON වන පරිදි වූ පිහිටීම තෙක් ගත වන කාලය බවත් පෙන්නන්න.

ආ).පෘථිවි පෘෂ්ඨය තුළ වූ වස්තුවත් එහි සිට පෘථිවි කේන්ද්‍රයට ඇති දුර ට අනුලෝම වශයෙන් සමානුපාතික බලයකින් පෘතුවියේ කේන්ද්‍රය දෙසට ආකර්ෂණය වන්නේ යැයි උපකල්පනය කරමින් වස්තුවක් පෘථිවි තලයේ සිට 32 km ගැඹුරු සිරස් වලක පතුලට වැටීමට ගතවන කාලයα ω සොයන්න (පෘතුවියේ අරය 6400 k m ලෙසද ලෙසද ගුරුත්වජ ත්වරණය g=10ms-2 ලෙසද ගන්න)

15	අ).සර්පිල දුන්නක් මගින් අචල ලක්ෂයකින් ස්කන්ධයක් එල්ලා ඇත.ස්කන්ධය නිශ්චලතාවයේ ඇති විට විතතිය l වේ. ස්කන්ධයට සිරස් චලිතයක් ලබා දුන් විට තත්පරයකට ඇතිවෙන පූර්ණ දෝලෙන සංඛ්‍යාව සොයන්න.
	ආ).Oxy තලය මත p නම් ලක්ෂ්‍යයක් චලනය වන්නේ t කාලයේ දී එහි පිහිටුම් දෛශිකය op=(asinωt)+(bsinωt)j වන ලෙසය මෙහිa,b ω ධන නියතයන් වෙන අතර i හා j පිළිවෙලින් අක්ෂ ඔස්සේ වූ ඒකක දෛශික වේ. P හි පෙත ඉලිප්සයක් බව පෙන්වා p හි ප්‍රවේගයේ සංරචක සහ ත්වරණයේ සංරචක සොයන්න ඕ * සහ * සහ ඕවයි මත පිහිටා පිහි ප්‍රක්ෂේපණ ප්‍රක්ෂේපණ එනම්2π ω කාලාවර්තය ඇතිව සරල අනුවර්තී චරිත ඇති කරන බව පෙන්වන්න

16	AB ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවේ ස්වාභාවික දිග lය.එහි A ඉහළ කෙළවර සීලිමකට ඈදා තන්තුව සිරස්ව තබා ඇත. තන්තුවේ B පහල කෙලවරින් බර අංශුවක් ගැටගසා තන්තුව නිශ්චලතාවයේ එල්ලෙන විට e විත්තියත් ඇතිවෙයි. අංශුව සමතුලිතතා පිහිටීමෙන් තවත් දුරක් d(>e) පහළට ඇද නිශ්චලතාවයේ මුදා හැරියහොත් අංශුවේ චලිතයෙන් කොටසක් කෝණික සංඛ්‍යාතය g/e සහිත සරල අනුවර්තිය චලිතයක් බව පෙන්වන්න
	අංශුව සීලීමේ වදින්නේ නැති නම් 1>(d2–e-/2e) සාධනය කර2g/l{π+d2+e2 e–tan–1(d2–e2 e)} මුළු කාලයට පස්සේ අංශු යළිත් ආරම්භක ලක්ෂය ට පැමිණෙන බව සාධනය කරන්න

17	ස්වාභාවික l වූ ප්‍රත්‍යස්ථතා සංගුණකය mg ද වුද ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් o අචල ලකෂ්‍යයකටත් අනෙක් කෙළවර ස්කන්ධය m අංශුවකටත් ඈදා තිබේ. අංශුව t = 0 වේලාවේදී oහි සිට (n2+2)glප්‍රවේගයකින් සිරස් ලෙස උඩ අතට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරෙහි. මෙහි n යනු ධන නියතයකි. kl යනු අංශුව ළගාවන උපරිම උස ලෙස ද k යනු l ට වඩා වැඩි නියතයක් ද විට,0≤y≤l දL<y≤kl ද යන අවස්ථා වෙන් කොට දක්වමින් අංශුව සඳහා o සිට ඉහලින්
	අංශුවේ y(t) =Acosω(t–tn)+Bsinω(t–t0)උස ඇතුළත් චලිතයේ සමීකරණය අවකල සමීකරණය ලෙස ලියා දක්වන්න.ඉහත (ii) සමීකරණයω=g/jයන්නෙන් ඉහත අවතර සමීකරණය සපුරන බව සත්යාපනය කර A,B නියත සොයන්න. අංශුව [n2+2–n+tan–1n)l/g වේලාවකට පසු පහළ බැසීමට පටන් ගන්නා බව පෙන්වා k හි අගය සොයන්න.

18	ස්වාභාවික දිග l ද ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය λ ද වන ලුහු තන්තුවක එක් කෙළවරකට m ස්කන්ධයෙන් යුත් P අංශුවක් ඈඳා ඇති අතර එහි අනෙක් කෙළවර O අචල ලක්ෂ්‍යයකට සවිකර තිබෙයි. l දිගින් යුත් ලුහු අවිතන්‍ය තන්තුවක එක් කෙළවරකට ස්කන්ධය m ම වූ Q අංශුවක් ද අනෙක් කෙළවරට ද ගැට ගසා ඇත. ආරම්භයේ දී සිරස් සරල රේඛාවක PQ පිහිටන සේ ද OQ හි මධ්‍යය ලක්ෂ්‍යය P වන පරිදි l ස්වාභාවික දිගක් PO ට තිබෙන සේ ද පද්ධතිය නිශ්චලතාවේ තබා ඉක්බිති එය නිශ්චලතාවේ සිට මුදාහරිනු ලැබෙයි. t වේලාවේ දී OP දිග l+x ය. P අංශුවත් Q අංශුවත් සඳහා චලිත සමීකරණ ලියා දක්වන්න. ඒනයින්, x+w2 (x–g w2 )=0 බව පෙන්වන්න. මෙහි w2=λ 2ml t වේලාවේ දී P අංශුවේ පිහිටීම x=g w2 +Acos⁡wt+B sin⁡wt යන්නෙන් දෙනු ලැබෙයි නම්. A හා B නියතවල අගයයන් නීර්ණය කරන්න. ඒ නයින්,
	i) පසුව එළඹෙන චලිතයේදී OP තන්තුවේ දිග කිසිවිටෙක 1ට අඩු නොවන බවද, ii) PQ තන්තුවේ ආතතිය 2mg sin2 wt 2 බව ද පෙන්වන්න. ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවේ උපරිම විතතිය 2l නම්, λ හි අගය සොයා පළමු වැනි වරට උපරිම විතතිය ලබාගන්නා වේලාව πl g බවත් පෙන්වන්න.
	(1996)

19	m ස්කන්ධයෙන් යුත් P නම් අංශුවක් සුමට තිරස් මේයක් මත තබා මේසය මත A,B,C නම් ලක්ෂ්‍යය තුනකට එය ඈඳා ඇත්තේ ස්වාභාවික දිග පිළිවෙලින් l1 l2, l3 ද මාපාංක පිළිවෙලින් λ1,λ2,λ3 ද වන තන්තු තුනක් මගිනි. ABC යනු පාදයක දිග a සහිත සමපාද ත්‍රිකෝණයක් නම් ත්‍රිකෝණයේ G කේන්ද්‍රයෙහි අංශුවට සමතුලිතව නිශ්චලතාවේ පිහිටිය හැකි නම් ද, a(λ1 l1–λ2 l2 )=(λ1–λ2 ) 3 බවත්, a(λ2 l2 –λ3 l3 )=(λ2–λ3 ) 3 බවත්, පෙන්වන්න.
	λ2=λ3 ලෙස ගෙන a හා සැසඳෙන විට x නම් කුඩා දුරකින් අංශුව AG ඔස්සේ BC පාදය වෙතට විස්ථාපනය කොට චලතාවේ සිට මුදාහැරියේ නම්, මෙවිට λ1 l1 (a/3+x–l1 )+2λ2 l2 (BP–l2 ) cos⁡APB+m (d2 x)/dt2 =0 බව පෙන්වන්න. x a හි එකකට වඩා වැඩි බලයක් නොසලකා හැරිමෙන්
	BP=a 3–x 2 බවත් cos⁡APB=(33)/4a x–1/2 බවත් පෙන්වන්න. එනයින්. λ_1/λ_2 + 2 l_1/l_2 >3√3 2a l1 බව දී ඇත්නම් කුඩා x අගයන් සඳහා P අංශුවේ චලිතය සරල අනුවර්තී බව අපෝහනය කරන්න.
	(1997)

20	ස්වභාවික දිග ද ස්තබ්ධතාව (දැඩියාව) k ද, වූ පරිපූණ දුන්නක් සඳහා බල නියමය ප්‍රකාශ කරන්න. ස්කන්ධය m වූ p අංශුවක් 4l දුරක පරතරයෙන් වූ බිත්ති දෙකකට ලම්බව ඝර්ෂණය රහිත සෘජු තිරස් මගක දෝලනය වෙයි. එම අංශුව ස්වභාවික දිග ද ස්තධතාව k ද වූ පරිපූණ දුන්නක් මගින් එක් බිත්තියක වූ A ලක්ෂ්‍යයකටත් සර්වසම දුන්නකින් අනෙක් බිත්තියේ වු B ලක්ෂ්‍යයකටත් ඈඳා තිබෙයි.
	එම දුනු මඟින් අංශුව මාර්ගය ඔස්සේ තල්ලුවකට හා ඇඳිල්ලකට ලක් කෙරෙයි. t වේලාවේ දී AP = x නම්, i). x≤l වූ විටත් ii). l≤x≤3l වූ විටත් iii). 3l≤x≤4l වූ විටත් අංශුවේ චලිත සම්කරණ ව්‍යුත්පන්න කර ඒවාට එකම ආකාරයක් තිබෙන බව පෙන්වන්න. ඒ නයින්, චලිතය හැමවිටම කාලාවර්ත බවත් කාලාවර්තය 2πm 2k බවත් පෙන්වන්න. අංගුවට ගතහැකි උපරිම වේගය සොයන්න.
	(1998)

21	ස්කන්ධය m වූ p අංශුවක් ස්වාභාවික දිග l සහ මාපාංකය 2mg වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක කෙළවරකට සම්බන්ධ කර ඇත. තන්තුවේ අනික් කෙළවර o අචල ලක්ෂ්‍යයකට සම්බන්ධ කර ඇත. තන්තුව සිරස්ව තිබියදී අංශුව එහි සමතුලන පිහිටීමෙන් d දුරක් පහළට ඇද නිශ්චලතාවයේ සිට මුදාහරිනු ලැබේ. p අංශුවේ සමතුලිත පිහිටීමේ සිට පහළට සිරස් විස්ථාපනය t කාලයේදී x වෙයි නම්,
	d2 x dt2 +2g l x=0 බව පෙන්වන්න. d<l 2 වෙයි නම් අංගුව එහි සමතුලිත පිහිටීම වටා π2l g කාලාවර්තය සහිතව සරල අනුවර්තී චලිතයේ යෙදෙන බවත් තන්තුව නොබුරුල්ව තිබෙන බවත් පෙන්වන්න. d>l 2 වෙයි නම් l 2g [π–sin-1⁡(l 2d) ] කාලයකට පසු තන්තුව බුරුල් වන බව පෙන්වන්න.
	(1999)

22	ස්කන්ධය m වූ කොටයක් තිරස් වේදිකාවක් මත සාපේක්ෂ නිශ්චලතාවයේ තිබෙන අතර වේදිකාව විස්තාරය a සහ කාලාවර්තය T වන සිරස් සරල අනූවර්තී දෝලන සිදුකරයි. වේදිකාවේ මධ්‍යන්‍යය පිහිටීමේ සිට සිරස්ව ඉහළට මැන්න විස්ථාපනය x වන විට වේදිකාවෙන් කොටය කෙරෙහි ප්‍රතික්‍රියාව mg (g–(4π-2 x T2) බව පෙන්වන්න.
	T =1s නම් කොටය වේදිකාවෙන් ඉවත් නොවන පරිදි තිබිය හැකි විශාලතම විස්තාරය මීටර වලින් අපෝහනය කරන්න. [π2 ≈ 9.8 බවද ගුරුත්වජ ත්වරණය ms-1 වලින් එම අගයම ගන්නා බවද උපකල්පනය කරන්න.]
	(2000)

23	ස්කන්ධය m වූ අංශුවක් ස්වාභාවික දිග l වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තත්තුවක එක කෙළවරකට සම්බන්ධ කරන ලදුව සමතුලිතතාවේ එල්ලෙයි. තන්තුවේ අනෙක් කෙළවර අචල O ලක්ෂ්‍යයකට ගැට ගසා ඇත. අංශුව O ට පහළින් 2l විස්ථාපනයකින් වූ C ලක්ෂ්‍යයහි ඇත්නම් තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථථතා මාපාංකය mg බව පෙන්වන්න.
	අංශුව දැන් C සිට gl ආරම්භක වේගයෙන් සිරස්ව පහළට ප්‍රක්ෂේප කරනු ලැබේ. t කාලයේ දී එහි O සිට පහළට විස්ථාපනය x වෙයි. x ̈+g l (x–2l)=0 බව පෙන්වා අංශුවේ සරල අනුවර්තී චලිතයෙහි කේන්ද්‍රය සහ කාලාවර්තය හඳුන්වා දෙන්න. x හි උපරිම සහ අවම අගයන් ලබාගන්න.
	(2001)

24	ස්වාභාවික දිග 2l සහ මාපාංකය mg වූ ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයකට ස්කන්ධය m වූ P අංශුවක් ගැට ගසා ඇත. සුමට තිරස් මේසයක එකිනෙකට 4l දුරකින් පිහිටි අචල A,B ලක්ෂ්‍යය දෙකකට තන්තුවේ දෙකෙළවර ඈඳා ඇත. ආරම්භයේ දී A,P,B සරල රේඛීයව AP = 3l වන පරිදි P අංශුව නිශ්චලතාවයේ තබා එම පිහිටීමේ සිට මුදා හරිනු ලැබේ.
	AP = 2l + x වන පරිදි වූ පිහිටීමක P අංශුවේ තිබෙන විට එහි චලිතයේ සමීකරණය ලියා දක්වන්න. ඒ නයින්, w2=2g l වූ, x ̈+w2 x=0 සමීකරණය ලබාගන්න. P අංශුවේ සරල අනුවර්තී චලිතයෙහි කේන්ද්‍රයෙහි. විස්තාරය සහ කාලාවර්තය සොයන්න. තව ද අංශුවේ උපරිම වේගයත් එය ලැබීමට ගතවන අඩුතම කාලයත් සොයන්න.
	(2002)

25	ස්කන්ධය m වූ P අංශුවක් ස්වාභාවික දිග l ද ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 4mg ද වන AB ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක A කෙළවරට ගැටගසා ඇති අතර B කෙළවර බිමෙහි සිට 2l ට වැඩි උසකින් පිහිටි අචල ලක්ෂ්‍යයකට ගැට ගසා ඇත. P අංශුව B හි නිසලව තබා මුදා හරිනු ලැබේ. ශක්ති සංස්ථිතිය පිළිබඳ මූලධර්මය යෙදීමෙන්, තන්තුවේ උපරිම දිග 2l බව පෙන්වා,තන්තුව යන්තමින් ඇදී ඇති විට P හි ප්‍රවේගය සොයන්න. x (>1) යනු කාලයේදී තන්තුවේ දිග යැයි සිතමු.
	P හි x ̈ ප්‍රවේගය නීර්ණය කිරීම සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න. එම සමීකරණයෙන්, (y+4g l y=0;y≥–l 4) ̈ ආකාරයේ සමීකරණයක් ලැබෙන බව පෙන්වන්න. මෙහි y = x–5l 4 වේ. y සඳහා y = A cos⁡wt + B sin ws ආකාරයේ විසඳුමක් උපකල්පනය කරමින් A,B,w නියත සොයන්න. ඒ නයින්, y හි උපරිම අගය නීර්ණය කර එමගින් තන්තුවේ උපරිම දිග ලබාගන්න

26	ස්කන්ධය m වූ කුඩා සුමට මුදුවක් තුළින් යන ස්වාභාවික දිග l වූ ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් සිලිමක වූ 0 ලක්ෂ්‍යයකට ඈඳා ඇත. මුදුව 0 ලක්ෂ්‍යයෙහි නිසලව රඳවා තිබියදී තන්තුවේ අනෙක් කෙළවරට ඈඳා ඇති ස්කන්ධය M වූ P අංශුවක් සමතුලිතතාවෙන් එල්ලා ඇත. තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 2Mg නම් සමතුලිත පිහිටුමේ දී තන්තුවේ විතතිය l 2 බව පෙන්වන්න.
	දැන් 0 හි දී නිශ්චලතාවයෙන් මුදනු ලැබූ මුදුව තන්තුව දිගේ ගුරුත්වය යටත්තේ සිරස්ව යටි අතට සර්පණය වී P සමග ගැටී හාවෙයි. මුදුවෙන් හා අංශුවෙන් සමන්විත වූ සංයුත වස්තුව m/(M+m) 3gl ප්‍රවේගයෙන් සිරස්ව යටි අතට චලනය වීම අරඹන බව පෙන්වන්න. තන්තුවේ විතතිය x විට සංයුත වස්තුව සඳහා චලිත සමීකරණය ලියා දක්වා සංයුත වස්තුව, 2Mg (M+m)l සංඛ්‍යාතය සහිත සරල අනුවර්තී චලිතයේ යෙදෙන බව පෙන්වන්න.

27	ස්වභාවික දිග l වූ ලුහු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් අචල ලක්ෂ්යයකට ඈඳා ඇති අතර අනෙක් කෙළවරින් ස්කන්ධය m වූ P අංශුවක් සමතුලිතව එලෙයි. සිරස් සමතුලිත පිහිටීමෙහි තන්තුවේ විතතිය c වෙයි. තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය සොයන්න. P අංශුව සමතුලිතතාවෙන් නිසලව ඇති විට සමාන ස්කන්ධයක් ඇති වෙනත් Q අංශුවක් P ට සිරස්ව ඉහළින් c උසක සිට නිසලව තිබී වැටී P සමඟ ගැටී බද්ධ වෙයි.
	ගැටුමට පසු t කාලයේ දී තන්තුවේ x විතතිය (x+w2 (x–2c)=0 ) ̈සමීකරණය සපුරාලන බව පෙන්වන්න. මෙහි w^2=g 2c වෙයි. x=2c + acoswt + bsin wt වන පරිදි a සහ b නියත සොයන්න. ඒ නයින්, සංයුක්ත අංශුව ගැටුමෙන් 3π 42c g කාලයකට පසුව ක්ෂණික නිශ්චලතාවට පැමිණෙන බව පෙන්වා මෙම මොහොතේ තන්තුවේ විතතිය සොයන්න
	(2005)

28	ස්වාභාවික දිග සහ මාපාංකය mg වූ ප්‍රත්‍යාස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් සුමට තිරස් මේසයක් මත එක දාරයක සිට 2l දුරකින් වූ අචල O ලක්ෂයකට ඇදා ඇත. තන්තුවේ අනෙක් කෙළවර ස්කන්ධය m වූ P අංශුවකට ඇදා ඇත. සැහැල්ලු අප්‍රත්‍යාස්ථ තන්තුවක් මඟින් P අංශුව ස්කන්ධය m වූ දෙවැනි Q අංශුවකට සම්බන්දකර ඇත.
	ආරම්භයේ දී OP = PQ =l ලෙස Q අංශුව මේසයේ දාරය අසල තබා සීරුවෙන් ඉවතට තල්ලු කරනු ලබන්නේ පද්ධතිය නිශ්චලතාවයේ සිට චලනය චලනය වීමට පටන්ගන්නා පරිදි ය. t කාලයේ දී OP=l+x වන අතර P අංශුව මේසය මත තිබිය දී Q අංශුව මේසයේ මට්ටමෙන් x ගැඹුරකින් පිහිටයි. යාන්ත්‍රික ශක්ති සංස්ථිති මූලධර්මය යෙදීමෙන් හෝ අන් ක්රමයකින් හෝ x ̈=w2 [t2–(l–x)2] බව පෙන්වන්න. මෙහි w2=g 2l වෙයි. P අංශුවේ ඇතිවන සරල අනුවර්තී චලිතයෙහි කේන්ද්‍රය සහ විස්තාරය සොයන්න. P අංශුව මේසයේ දාරයට ළඟාවන්නේ t=πl 2g මොහොතේ දී බව පෙන්වා එවිට එහි වේගය සොයන්න.
	(2006)

29	ස්වාභාවික දිග l වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යාස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් 0 අචල ලක්ෂ්‍යයකට සම්බන්ධ කර ඇති අතර අනෙක් කෙළවර ස්කන්ධය m වු අංශුවකට සම්බන්ධ කර ඇත. අංශුව සමතුලිතව එල්ලා තිබෙන විට තන්තුවේ දිග ද වෙයි. තන්තුවේ ප්‍රත්‍යාස්ථතා මාපාංකය සොයන්න. අංශුව ස්වකීය සමතුලිත පිහිටීමේ සිට a දුරක් සිරස්ව පහළට ඇද එහි සිට නිශ්චලතාවයෙන් මුදා හරිනු ලැබෙයි. සමතුලිත පිහිටීම සිට පහළට මනින ලද අංශුවෙහි විස්ථාපනය හා t කාලයේ දී x වෙයි.
	තන්තුව අදී තිබෙන තාක් d2 x dt2 +w2 x=0 බව පෙන්වන්න. මෙහි w2=2g l වෙයි. a<l 2 අවස්ථාවේ දී සිදුවන චලිතයෙහි කාලාවර්තය සහ විස්තරය සොයන්න. a = l 2 +b,(b> 0) අවස්ථාවේ දී තන්තුව පළමුවරට බුරුල්වීමට ගන්නා කාලය √(l 2g [π–c-1 (l l+2b)]බව පෙන්වන්න. d2 x dt2 +w2 x=0සමීකරණයේ විසඳුම x = A cos⁡wt +B sin wt බව උපකල්පනය කිරීම මැනවි. මෙහි A සහ B යනු නීර්ණය කළ යුතු නියත දෙකකි.]
	(2007)

30	ස්වාභාවික දිග l වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යාස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් අචල O ලක්ෂ්යයකට ඈඳා ඇති අතර අනෙක් කෙළවරෙහි පිළිවෙලින් ස්කන්ධ m සහ 3m වු O සහ Q අංශු දෙකක් නතුව l + 4a දිගකට විස්තීරණය කරමින් සමතුලිතතාවේ එකට එල්ලෙයි.
	Q අංශුව ක්ෂණිකව ඉවතට වැටෙයි. t කාලයකට පසුව තන්තුවේ දිග l+x වෙයි නම්, x> 0 සඳහා d2 x dt2 +g a (x–a)=0 සමීකරණය ලබාගන්න. සමීකරණයෙහි විසඳුම x= a + b sin wx+ c cos wt බව දී ඇත්නම් b සහ c නියතවල අගයන් සොයන්න. මෙහි w2=g a වෙයි. P අංශුව ආරම්භක පිහිටීමෙන් ඉහළට ළඟාවන උපරිම උස සොයා එම උසට ළඟාවීමට ගතවන කාලය a g {π–α+22 } බව පෙන්වන්න. මෙහි α යනු cos-1 ⁡1 3සුළු කෝණයයි.
	(2008)

31	P අංශුවක් x2+y2=a2 වෘත්තය මත ඒකාකාර aw වේගයෙන් චලනය වෙයි. Q යනු P සිට y අක්ෂය මත ලම්බයේ අඩිය නම්, කාලාවර්තය 2π w වූ සරල අනුවර්තී චලිතයක Q යෙදෙන බව පෙන්වන්න. ස්වාභාවික දිග l වූ සැහැල්ලු සර්පිල දුන්නක් ස්වකිය අක්ෂය සිරස්ව ඇති ව පහත කෙළවරෙහි සවිකර ඇත. දුන්නේ උඩු කෙළවර මත තබන ලද ස්කන්ධය m වූ අංශුවකට නිශ්චලව තිබෙන දුන්න d දුරක් සම්පීඩනය කළ හැකිය. මෙහි c<l වේ.
	එම අංශුවම h උසක සිට දුන් උඩු කෙළවර මත වැටීමට සැලැස්වූයේ නම්, l≥a+d බව දී ඇති විට විස්තාරය a= d2+2dh වන සරල අනුවර්තී චලිතයක අංශුව යෙදෙන බව පෙන්වන්න. මෙම චලිතයේ දී අංශුව අඩු තරමින් 3π 2 d g කාල ප්‍රාන්තරයක් වත් දුන්න මත රැඳී පවතී නම්, (h g) හි උපරිම අගය සොයන්න.
	(2009)

32	ස්කන්ධය m වූ P නම් අංශුවක් ස්වාභාවික දිග l වූ ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරකට සම්බන්ධ කර ඇති අතර තන්තුවෙහි අනෙක් කෙළවර සීවිලිමක 0 අචල ලක්ෂ්‍යයකට සම්බන්ධ කර ඇත. λ යනු තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය නම්, P අංශුව සමතුලිතතාවෙන් එල්ලෙන විට තන්තුවේ a විතතිය a = mgl λ මඟින් දෙනු ලබන බව පෙන්වන්න. OP සිරස්ව ලෙස ද එහි දිග l+a+b ට සමාන වන ලෙස ද තන්තුව වැඩි දුරටත් b( > a) දිගකින් අඳිනු ලැබේ. P අංශුවේ නිශ්චලතාවෙන් මුදා හැරෙයි. තත්තුවේ දිග l+a+x වන විට P අංශුවේ චලිත සමීකරණය ලියා දක්වා සුපුරුදු අංකනයෙන් x ̈+g ax=0 බව පෙන්වන්න.
	මෙහි –a≤x≤b වේ. ඉහත සමීකරණයේ විසඳුම x = Acos g t t+B sin⁡ g t t අකාරයේ යැයි උපකල්පනය කරමින් A හා B සොයන්න.∝sin-1⁡(a b) වන a g [π 2+∝] කාලයක් සඳහා වූ අංශුව සරල අනුවර්තී චලිතයේ යෙදෙන බව ද සරල අනුවර්තී චලිතයෙන් P අංශුව ඉවත්වන මොහොතේ දී එහි ප්‍රවේගය උඩුඅතට g a (b2–a2 )බව ද පෙන්වන්න. අනතුරුව P අංශුව ගුරුත්වය යටතේ චලනය වන බවද b>a 1+2λ mg නම්, එය නිශූන්ය ප්‍රවේගයකින් සීලිමේ ගැටෙන බවද පෙන්වන්න.
	(2010)

33	ස්වාභාවික දිග l ප්‍රත්‍යස්ථතාතා මාපාංකය λ ද වන තුනී සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථතා දුන්නක් සුමට තිරස් මේසයක් මත නිසලව ඇත. එහි කෙළවරක් මේය මත වූ අචල ලක්ෂ්යයකට සවිකර ඇත. එහි අනෙක් කෙළවරට ස්කන්ධය m වූ අංශුවක් ඈඳා ඇත.
	එහි දිගේ දුන්න ඇඳ මුදා හරිනු ලැබෙයි. ආවර්ත කාලය 2π l λ සහිත සරල අනුවර්තී චලිතයක අංශුව යෙදෙන බව පෙන්වන්න.
	(2011)

34	ස්වාභාවික දිග l වූ දින ‘සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථතා තත්තුවක එක් කෙළවරකට ස්කන්ධය m වූ P නම් අශුවක් ඇඳ ඇත. තන්තුවෙහි අනෙක් කෙළවර තිරස් පොළොවක සිට 4l උසින් පිහිටි අචල O තලයකට සවිකර ඇත. P අංශුව සමතුලිතතාවෙන් එල්ලෙන විට තන්තුවේ විතතිය l වේ. තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය mg බව පෙන්වන්න. P අංශුව දැන් 0 හි තබා gl ප්‍රවේගයෙන් සිරස්ව පහළට ප්‍රක්ෂේප කරනු ලැබෙයි. P අශුව (දුරක් වැටුණු විට එහි ප්‍රවේගය සොයන්න,
	තන්තුවෙහි දිග 2l + x වන විට P අංශුව සඳහා චලිත සමීකරණය ලියා දක්වා සුපුරුදු අංකනයෙන් x ̈+g l x=0 බව පෙන්වන්න. මෙහි –1≤x≤2l වේ. ඉහත සමීකරණයෙන් c (> 0) නියතයක් වන x ̈^2=g l (c2–x2 ) දෙනු ලැබේ.
	යැයි උපකල්පනය කරමින් C හි අගය සොයන්න. P අංශුව පොළවට එළඹෙන විට ක්ශනික නිශ්චලතාවට පැමිණෙන බව පෙන්වා 0 සිට පොළොවට එළඹීමට ගතවන කාලය 1 3 (33–3+2π) l g බව පෙන්වන්න.
	(2011)

35	A හා B යනු සුමට තිරස් මේසයක් මත එකිනෙක අතර දුර 8l ක් වන ලක්ෂ්‍යය දෙකකි. ස්කන්ධය m වූ P නම් සුමට අංශුවක් A හා B අතර AB මත පිහිටි ලක්ෂ්‍යයට තබා ඇත. ස්වාභාවික දිග 3l හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 4λ වන සැහැල්ලු ප්‍රක්ෂේප තන්තුවක් මඟින් A ලක්ෂ්‍යයට ද ස්වාභාවික දිග 2l හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය λ වන සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක් මඟින් B ලක්ෂ්‍යයට ද P අංශුව සම්බන්ධ කෙරේ.
	P අංශුව C ලක්ෂ්‍යයේදී සමතුලිතතාවේ පවතී නම්, AC=42/11 l බව පෙන්වන්න. P අංශුව AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වන M ලක්ෂ්‍යයේ තබා නිශ්චලතාවෙන් මුදා හැරේ. P අංශුව AB දිගේ A ලක්ෂ්‍යයේ සිට x දුරින් පිහිටන විට තන්තු දෙකෙහි ආතති ලබාගන්න. 40 11 l≤x≤4l සඳහා P අංශුවේ චලිත සමීකරණය ලියා දක්වා සුපුරුදු අංකනයෙන්, x ̈ 11λ 6ml (x–42 11l)=0 බව පෙන්වන්න.
	y = x – 42 11 l යැයි ලිවීමෙන් y ̈=11λ 6ml y×0 බව පෙන්වන්න. ඉහත සමීකරණයේ විසඳුම y = A cos wt+ B sin wt ආකාරයේ යැයි උපකල්පනය කරමින් A,B හා ω නියත සොයන්න. P අංශුව A ලක්ෂ්‍යය සිට 41 11 l දුරින් පිහිටන විට එහි ප්‍රවේගය සොයන්න.
	(2012)

36	ස්කන්ධය m වූ අංශුවක් ස්වභාවික දිග l වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථතා තන්තුවක එක කෙළවරකට ඈඳා ඇති අතර තන්තුවේ අනෙක් කෙළවර අචල 0 ලක්ෂ්‍යයකට ඈඳා ඇත. අංශුව සමතුලිත ව එලෙන විට තන්තුවේ විතතිය 1 3 වේ. තන්තුවේ ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය සොයන්න. අංශුව 0 ට 1 2 දුරකින් සිරස්ව පහළින් වූ ලක්ෂ්‍යයේ තබා නිශ්චලතාවේ සිට මුදා හරිනු ලැබේ. 0 සිට l දුරකින් සිරස්ව පහළින් වූ A ලක්ෂ්‍යය වෙත අංශුව ප්‍රථම වතාවට ළඟා වන විට එහි ප්‍රවේගය සොයන්න. B යනු අංශුව ළගා වන පහළ ම ලක්ෂ්‍යය යැයි ගනිමු. A සිට B දක්වා අංශුවේ චලිතය සඳහා තන්තුවේ විතතිය x යන්න x ̈+3g l (x–1 3)=0 සමීකරණය සපුරාලන බව පෙන්වන්න.
	ඉහත සමීකරණයේ විසඳුම් x=1 3 α cos⁡ωt+B sin⁡ωt ආකාරයේ බව උපකල්පනය කරමින් α,β හා ω නියතවල අගයන් සොයන්න. එනයින්, අංශුව A සිට B දක්වා යෙදෙන සරල අනුවර්තී චලිතයේ කේන්ද්‍රය හා විස්තාරය සොයන්න. මුදා හළ මොහොතේ සිට l g {1+2π 33} කාලයකට පසුව අංශුව B වෙත ළඟා වන බව පෙන්වන්න. අංශුව B හි ඇතිවිට තන්තුවේ ආනනිය සොයන්න.
	(2013)

37	ස්වාභාවික දිග a හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 4mg වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක කෙළවරක් අචල 0 ලක්ෂ්‍යයකට ගැට ගසා ඇති අතර අනෙක් කෙළවර ස්කන්ධය m වූ අංශුවකට සම්බන්ධ කර ඇත.
	0 හි නිශ්චලතාවයේ සිට අංශුව ගුරුත්වය යටතේ මුදා හරිනු ලැබේ. ශක්ති සංස්ථිති මූලධර්මය යෙදීමෙන් පසුව සිදුවන චලිතයේ දී තන්තුවේ උපරිම දිග සොයන්න
	(2014).

38	ස්වාභාවික දිග 4a හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 8 mට වූ සිහිල් සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථතා දුන්නත්, එහි පහළ කෙළවර 0 අචල වන සේ සිර සිටුවා ඇත. ස්කන්ධය m වූ P අංශුවක් එහි ඉහළ කෙළවරට ඈඳා තිබේ. P අංශුව 0 ට සිරස්ව ඉහළින් වූ A ලක්ෂ්‍යයක සමතුලිතව ඇත. OA = 7a 2 බව පෙන්වන්න. දැන්, එම m ස්කන්ධය ම සහිත තවත් Q අංශුවක් P ට සීරුවෙන් ඈඳනු ලබන අතර, සංයුක්ත අංශුව A හි නිශ්චලතාවයේ සිට චලිතය ආරම්භ කරයි. සංයුක්ත අංශුවේ චලිත සමීකරණය x ̈=–g a x බව පෙන්වන්න.
	මෙහි x යනු OB = 3a වන පරිදි O ට සිරස්ව ඉහළින් පිහිටි B ලක්ෂ්‍යයේ සිට සංයුක්ත අංශුවේ විස්ථාපනය වේ. සංයුක්ත අංශුව ළඟා වන පහළම ලක්ෂ්‍යය B යැයි ගනිමු. 0C දිග ද A සිට C දක්වා චලනය වීමට සංයුක්ත අංශුව ගන්නා කාලය ද සොයන්න.සංයුක්ත අංශුව C හි ඇති මොහොතේ දී Q අංශුව සීරුවෙන් ඉවත් කරනු ලැබේ. පසුව සිදුවන P අංශුවේ චලිතය සඳහා චලිත සමීකරණය y ̈=–2g a y පෙන්වන්න. මෙහි x යනු A ලක්ෂ්‍යයේ සිට P අංශුවේ විස්තාපනය වේ. මෙම සමීකරණයට Y=α cos⁡ωt+β sin⁡ ωt ආකාරයේ විසඳුමක් උපකල්පනය කරමින් α,β හා ω නියතවල අගයන් සොයන්න. එනයින්, C සිට D දක්වා චලනය වීමට P අංශුව ගන්නා කාලය π 3 2a g බව පෙන්වන්න. මෙහි D යනු OD = 4a වන පරිදි 0 ට සිරස්ව ඉහළින් පිහිටි ලක්ෂ්‍යය වේ. D වෙත ළඟා වන විට P අංශුවේ වේගය ද සොයන්න.
	(2014)

39	ස්වභාවික දිග a හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 2mg වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක කෙළවරක් අචල A ලක්ෂ්‍යයකට ගැට ගසා ඇත. A හි මට්ටමට ඉහළින් සවි කරන ලද B කුඩා සුමට නාදැත්තක් උඩින් තන්තුව යන අතර, තන්තුවේ අනෙක් කෙළවරට ස්කන්ධය m වූ P අංශුවක් සම්බන්ධ කර ඇත. AB දුර a වන අතර, BA යටි අත් සිරස සමග සාදන කෝණය π 3 වේ. ආරම්භයේ දී P අංශුව B නාදැත්තට යන්තමින් පහළින් තබා සිරස්ව පහළට u=5ga g වේගයෙන් ප්‍රක්ෂේප කරනු ලැබේ. කාලය t වන විට තන්තුවේ විතතිය x යැයි ගනිමු.
	P අංශුවෙහි සරල අනුවර්තී චලිතය සඳහා සමීකරණය X ̈+ω2 X=0 ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කළ හැකි බව පෙන්වන්න; මෙහි X=x–a 2 හා ω2=2g a වේ. මෙම චලිත සමීකරණය සඳහා, X ̈2= ω2 (A2–X2 ) ආකාරයේ විසඳුමක් උපකල්පනය කරමින්, සරල අනුවර්තී චලිතයේ විස්තාරය A = 3a 4 බව පෙන්වා, අංශුව ළඟා වන පහත් ම පිහිටීම වූ E ලක්ෂ්‍යය සොයන්න.සරල අනුවර්තී චලිතයේ C කේන්ද්‍රය පසුකර අංශුව යන විට එහි වේගය 3u 5 බව පෙන්වන්න.
	අනුරූප වෘත්ත චලිතය සැලසීමෙන් හෝ අන් ක්‍රමයකින් හෝ, P අංශුව පහළට චලනය වීමේ දී, C පසු කර යෑමට ගන්නා කාලය a 2g {π 2–cos-1)⁡(2 3)} බව පෙන්වන්න. තවදුරටත්, P අංශුව එහි පහත් ම පිහිටීම වූ E වෙත ළඟා වීමට ගන්නා කාලයත්, නාදැත්තක් මත තන්තුවෙන් ඇති කරනු ලබන බලයේ උපරීම විශාලත්වයත් සොයන්න.
	(2015)

40	ස්වාභාවික දිග a හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 4 mg සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තත්තුවක එක් කෙළවරක් අචල 0 ලක්ෂ්‍යයක ද අනෙක් කෙළවර ස්කන්ධය m වූ P අංශුවකට ද ගැට ගසා ඇත. P අංශුව, 0 හි නිශ්චලතාවයේ සිට මුදා හරිනු ලැබේ. P අංශුව A ලක්ෂ්‍යය පසු කර යන විට එහි ප්‍රවේගය සොයන්න. මෙහි 0A = a වේ. තන්තුවේ දිග x(≥a) යන්න X ̈+ 4g a (x–5a 4)=0 සමීකරණය සපුරාලන බව පෙන්වන්න.
	X = x – 5a 4 ලෙස ගෙන, ඉහත සමීකරණය X ̈+ωX=0 ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කරන්න. මෙහි ω(>0) නිර්ණය කළ යුතු නියතයකි. X ̈2=ω2 (c2–X2 ) බව උපකල්පනය කරමින් මෙම සරල අනුවර්තී චලිතයෙහි විස්තරය වන C සොයන්න. P අංශුව ළඟා වන පහළම ලක්ෂ්‍යය L යැයි ගනිමු.
	A සිට L දක්වා චලනය වීමට P මගින් ගනු ලැබූ කාලය 1 2 a g {π–cos-1⁡(1 3) } බව පෙන්වන්න. P අංශුව K හි තිබෙන මොහොතේ දී ස්කන්ධය λm (1≤λ<3) වූ තවත් අංශුවක් සීරුවෙන් P ට ඈඳනු ලැබේ. ස්කන්ධය (1+λ)m වූ සංයුක්ත අංශුවේ චලිත සමීකරණය X ̈+4g (1+λ)a {x–(5+λ)a 4}=0 බව පෙන්වන්න. සංයුක්ත අංශුව, (3–λ) a 4 විස්තරය සහිත පූර්ණ සරල අනුවර්තී චලිතයේ යෙදෙන බව තවදුරටත් පෙන්වන්න.
	(2016)

41	ස්වාභාවික දිග a හා ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය mg වූ සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවක එක් කෙළවරක් සුමට තිරස් ගෙබිමකට 3a උසක් ඉහළින් වූ O අචල ලක්ෂ්‍යයකට ඈඳා ඇති අතර අනෙක් කෙළවර ස්කන්ධය m වූ අංශුවකට ඈඳා ඇත. අංශුව O අසලින් තබා, ga වේගයකින් සිරස් ව පහළට ප්‍රක්ෂේපණ කරනු ලැබේ. තන්තුවේ දිග x යන්න, a≤x<3a සඳහා X ̈+g a (x–2a)=0 සමීකරණය සපුරාලන බව පෙන්වා මෙම සරල අනුවර්තී චලිතයෙහි කේන්ද්‍රය සොයන්න. ගෙබිම සමග පළමු ගැටුම තෙක් අංශුවේ පහළට චලිතය සඳහා ශක්ති සංස්ථිති මූලධර්මය යෙදීමෙන් a≤x<3a සඳහා x ̈2=g a (4ax–x2 )බව පෙන්වන්න.
	X=x–2a යැයි ගනිමින් අවසාන සමීකරණය –a≤X< a සඳහා x ̈2=g a (A2–X2 ) ආකාරයෙන් ප්‍රකාශ කරන්න. මෙහි A යනු නිර්ණය කළ යුතු විස්තාරය වේ. ගෙබිම සමග පළමු ගැටුමට මොහොතකට පෙර අංශුවේ ප්‍රවේගය කුමක් ද?අංශුව හා ගෙබිම අතර ප්‍රත්‍යාගති සංගුණකය 1 3 වේ. පළමු ගැටුමෙන් පසු තන්තුව බුරුල් වන තෙක් අංශුවේ උඩු අත් චලිතයට –a≤X<a සඳහා X ̈=g a (B2–X2 ) බව දී ඇත. මෙහි B යනු මෙම නව සරල අනුවර්තී චලිතයේ නිර්ණය කළ යුතු විස්තාරය වේ. ඉහතින් විස්තර කරන ලද යම් අත් හා උඩු අත් සරල අනුවර්තී චලිතවල අංශුව යෙදෙන මුළු කාලය 5π 6 a g බව පෙන්වන්න.
	(2017)